Unleserlich! Integral Wurzel(1-x²) dx

06.03.2021, 01:35	Julius777	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Wurzel(1-x²) dx Meine Frage: Komme nicht weiter, bräuchte für ? 1-x²) dx Hilfe: Meine Ideen: Da 1 = sin²(x)+cos²(x) kann Ich x= sin(z) setzen und bekomme cos(z) = 1 - sin²(z)) dx = cos(z) dz -> ? cos²(z) dz Danach kann Ich cos²(z) = 0,5(1+cos(2z)) nutzen Also jetzt partielle Integration? ? cos(z)cos(z) dz, cos(z) = u' cos(z)= v uv - ?uv' Komme damit auf sin(z)cos(z)+cos(z)cos(z) = cos(z)[sin(z)+cos(z)] cos(z)[sin(z)+cos(z)] ist aber nicht was der Taschenrechner sagt, der sagt [cos(z)sin(z)+z]/2 Also 0,5(1+cos(2z))¹ durch normales Aufleiten lösen? Also 0,25(1+cos(2z)² (-)2 sin(2z) = -0,5(1+cos(2z)²sin(2z)? Ergibt auch was anderes Oder 0,5 ? 1 + cos(2z) dz = 0,5 (x + sin(2z) 2) Da x = sin(z) wäre eine Rücksubstitution 0,5 (x + 2x * 2)? Also 1,5x + 1 und auch was anderes als der Rechner sagt
06.03.2021, 01:38	Julius7777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ? ?(1-x²) dx Es lautet "Integral Wurzel (1-x²) dx, kann hier anscheinend nicht angezeigt werden
06.03.2021, 04:43	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ? ?(1-x²) dx Kann angezeigt werden: $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \sqrt{1-x^{2} } \, dx \end{eqnarray}$ Mit partieller Integration komme ich auf $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \cos^{2}(z) \, dz = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sin(z)\cos(z)+\int_{}^{} \! \sin^{2}(z) \, dz = \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sin(z)\cos(z)+\int_{}^{} \ 1-\cos^{2}(z) \, dz \end{eqnarray}$
06.03.2021, 11:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man kommt auch ohne Substitution aus, indem man partiell integriert und mit $\begin{align} x \end{align}$ als Stammfunktion der Konstanten 1 beginnt: $\begin{align} \int \sqrt{1-x^2} ~ \dd x \ = \ x \sqrt{1-x^2} + \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x \end{align}$ $\begin{align} = x \sqrt{1-x^2} + \int \frac{-(1-x^2)+1}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x \end{align}$ $\begin{align} = x \sqrt{1-x^2} - \int \frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x + \int \frac{\dd x}{\sqrt{1-x^2}} \end{align}$ $\begin{align} = x \sqrt{1-x^2} - \int \sqrt{1-x^2} ~ \dd x + \arcsin(x) \end{align}$ Jetzt noch das rechts verbliebene Integral auf die linke Seite ziehen und auflösen.
06.03.2021, 12:17	Julius7777	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ? ?(1-x²) dx Dann wird aus ∫ cos2(z)dz aber [...] ∫ 1−cos2(z)dz Inwiefern bringt mich das weiter?
06.03.2021, 15:28	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ? ?(1-x²) dx Wenn Du weitergebracht werden willst, solltest Du an dieser Stelle nun Deine Beiträge lesbar gestalten und vor Absenden mit der Vorschau kontrollieren, zumal Du unregistriert nicht nachträglich editieren kannst.
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06.03.2021, 17:23	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ? ?(1-x²) dx Damit es weitergeht, habe ich mal dechiffrieren lassen. Offenbar kannst Du mit $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \cos^{2}(z) \, dz =\sin(z)\cos(z)+\int_{}^{} \ 1-\cos^{2}(z) \, dz \end{eqnarray}$ noch nichts anfangen. Hilft der nächste Schritt? $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \cos^{2}(z) \, dz =\sin(z)\cos(z)+\int_{}^{} \ 1 \, dz -\int_{}^{} \! \cos^{2}(z) \, dz \end{eqnarray}$

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