Hypothesentesten - Münztest

07.03.2021, 13:17	Gameplayer1	Auf diesen Beitrag antworten »
Hypothesentesten - Münztest Meine Frage: Guten Tag, ich habe eine Frage zum Thema Hypothesentesten bzw. bitte um einen Vergleich meiner Lösungen. Zur Aufgabe: EIn Zauberer verwendet für einen Trick eine Münze. Um dem Verdacht nachzugehen, dass sie nicht wie vom Zauberer behauptet fair ist und zu oft Kopf lifert, wird folgender Test durchgeführt: Die Münze wird 20 mal geworfen. KOmmt mindestens 13-mal Kopf, so wird sie als gefälscht eingestuft (H1), andernfalls ist sie fair. a) Wie groß ist die Irtumswahrscheinlichkeit 1. Art, d.h. der Alpha-Fehler des Tests? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 2. Art, wenn die Münze so gefälscht ist, dass die Wahrscheinlichkeit für Kopf bei p=0,6 liegt? c) Verbessern Sie den Test nun so, dass der Alpha-Fehler nur noch maximal 5% beträgt, ohne den Stichprobenumfang zu erhöhen. Wie lautet die neue Entscheidungsregel? Meine Ideen: Zuerst kann man feststellen, dass H1=gefälschte Münze und H0=faire Münze bedeutet. Die Wahrscheinlichkeit für H1=p1?0,5 und die Wahrscheinlichkeit für H0=p0=0,5. Die Entscheidungsregel lautet: K $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 13 --> Entscheidung für H1 K<13 --> Entscheidung für H0 Bei a) hab ich den Alpha Fehler berechnet und kam auf einen Wert von 13,16%. Bei b) habe ich den Beta-Fehler mit der Wahrscheinlichkeit p=0,6 berechnet und kam auf einen Wert von 58,41%. (Kann das stimmen?!) Bei c) habe ich die kritische Zahl K bestimmt, wobei ich auf K=5 kam. Wie lautet nun die Entscheidungsregel? K $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 5 --> Entscheidung für H1 K<5 --> Entscheidung für H0? Nachtrag: Ich hab gerade gesehen, dass meine Ungleich- sowie Größer-Gleich und Kleiner-Gleich zeichen durch Fragezeichen ersetzt wurden. Ich denke allerdings man kann sich denken, welches Zeichen wohin gehört. Ich bitte um Verstädnis. Ich habe die Ungleichheitszeichen eingefügt. Falls es nicht so gemeint war, bitte melden. klauss
12.03.2021, 16:08	StRb	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus dem Aufgabentext lese ich: $\begin{eqnarray} X:=\text{Anzahl Kopf} \end{eqnarray}$ (beim 20-maligen Werfen einer Münze). $\begin{eqnarray} H_0: \quad p_0 \leq 0,5<br /> H_1: \quad p_1 > 0,5 \end{eqnarray}$ Sei also $\begin{eqnarray} X\sim\mathrm{b} (n=20,\ p=0,5) \end{eqnarray}$ . Den Annahme- wie auch den Verwerfungsbereich für $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ bekommen wir – wie du korrekt angegeben hast – geliefert mit $\begin{eqnarray} A=\{0,1,\dots,12\} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \overline{A} = \{13,\dots,20\} \end{eqnarray}$ . Der Alpha-Fehler oder auch das Signifikanzniveau ist ja die Wahrscheinlichkeit, dass $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ verworfen wird, obwohl sie richtig ist, d.h. $\begin{eqnarray} P(X_{0,5}\in \overline{A}) = P(X_{0,5}\geq 13) = 1-P(X_{0,5}\leq 12) \approx 1-0,8684 = 0,1316 \end{eqnarray}$ Das passt bei dir. Die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler 2. Art zu begehen, also den Beta-Fehler, ist doch die Wahrscheinlichkeit, $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ anzunehmen, obwohl sie falsch ist! Angenommen $\begin{eqnarray} p=0,6 \end{eqnarray}$ stimmt eigentlich, aber wir halten an $\begin{eqnarray} p_0=0,5 \end{eqnarray}$ fest, dann gilt: $\begin{eqnarray} P(X_{\color{red}0,6}\in A) = P(X_{\color{red}0,6}\leq 12) \approx 0,5841 \end{eqnarray}$ Das haut bei dir auch wunderbar hin! Nun müssen wir ein $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ finden mit $\begin{eqnarray} A=\{0,1,\dots,k-1\} \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \overline{A} = \{k,\dots,20\} \end{eqnarray}$ , sodass $\begin{eqnarray} P(X\in \overline{A}) \leq 0,05 \end{eqnarray}$ beträgt. Achtung – hier ist wieder $\begin{eqnarray} p=0,5 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} P(X\in \overline{A}) &\leq 0,05<br /> P(X\geq k) &\leq 0,05<br /> 1-P(X\leq k-1) &\leq 0,05<br /> -P(X\leq k-1) &\leq -0,95<br /> P(X\leq k-1) &\color{red}\geq\color{black} 0,95<br /> \end{eqnarray}$ Das lassen wir einen TR oder eine Tabelle für uns machen: $\begin{eqnarray} P(X\leq 13) \approx 0,9423\ (\not\geq0,95) \end{eqnarray}$ (fast gut, bisschen mehr brauchen wir aber!) $\begin{eqnarray} P(X\leq 14) \approx 0,9793\ (\geq 0,95) \end{eqnarray}$ (perfekt!) Somit ist $\begin{eqnarray} k-1=14 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} k=15 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt als Annahmebereich $\begin{eqnarray} A=\{0,1,\dots,14\} \end{eqnarray}$ bzw. als Verwerfungsbereich $\begin{eqnarray} \overline{A} = \{15,\dots,20\} \end{eqnarray}$ . Da dein gefundenes $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 5 \end{eqnarray}$ beträgt, was ja $\begin{eqnarray} 20-15 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ minus das von mir ermittelte $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ , ist, vermute ich einen Flüchtigkeitsfehler bei dir. Vergleich doch gerne mal deinen Lösungsweg mit meinem. Ich habe extra versucht, jeden Schritt darzustellen.
12.03.2021, 17:49	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum Sprachgebrauch: Im Annahmebereich wird nichts bestätigt, es fand sich lediglich nichts was eine Ablehnung rechtfertigen könnte, sozusagen ein Freispruch mangels Beweisen ( Hinweisen). Deshalb sollte $\begin{eqnarray} H_0 \end{eqnarray}$ immer konservativ sein. So wie vor Gericht auch. Hingegen ist die Ablehnung einer Hypothese logisch stets stärker.

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