Für zwei ungerade Primzahlen p<q finde natürliche Lösungen a,b für a^2+b^4=pq

07.03.2021, 13:49

Eldar

Für zwei ungerade Primzahlen p<q finde natürliche Lösungen a,b für a^2+b^4=pq

Meine Frage:
Gegeben seien zwei ungerade Primzahlen $\begin{eqnarray*} p<q \end{eqnarray*}$ . Können wir (ohne Trial-&-Error) natürliche Lösungen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ für die Gleichung $\begin{eqnarray*} a^2+b^4=pq \end{eqnarray*}$ finden? Oder kann man einen Zusammenhang zwischen den beiden Primzahlen und natürlichen Lösungen herstellen?

Meine Ideen:
Teilweise gibt es sogar mehrere Lösungen, zum Beispiel $\begin{eqnarray*} 73\cdot89=49^2+8^4=64^2+7^4=79^2+4^4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 109\cdot149=40^2+11^4=79^2+10^4 \end{eqnarray*}$ . Gibt es ggf. sogar eine Möglichkeit anhand von $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ eine Aussage über die Anzahl der Lösungen im Vorfeld zu treffen?

07.03.2021, 15:54

HAL 9000

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Ist $\begin{eqnarray*} p\equiv 3\bmod 4 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} q\equiv 3\bmod 4 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es schon mal garantiert keine Lösung. Du könntest folgende Aussage für deine Untersuchungen nutzen:

$\begin{eqnarray*} u^2+v^2=p \end{eqnarray*}$ hat für Primzahlen $\begin{eqnarray*} p\equiv 1\bmod 4 \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung $\begin{eqnarray*} u>v>0 \end{eqnarray*}$ .

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Haben wir nun im Fall $\begin{eqnarray*} p\equiv q\equiv 1\bmod 4 \end{eqnarray*}$ diese eindeutigen Lösungen $\begin{eqnarray*} u^2+v^2=p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r^2+s^2=q \end{eqnarray*}$ , so ist

$\begin{eqnarray*} pq = (u^2+v^2)(r^2+s^2) = (ur+vs)^2 + (us-vr)^2 = (ur-vs)^2 + (us+vr)^2 \end{eqnarray*}$

Andere ganzzahlige Lösungen von $\begin{eqnarray*} pq = a^2+c^2 \end{eqnarray*}$ gibt es NICHT!!! D.h., wenn nicht (zufällig?!) eine der vier Zahlen $\begin{eqnarray*} ur+vs,|us-vr|,|ur-vs|,us+vr \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl ist, so hat $\begin{eqnarray*} pq = a^2+b^4 \end{eqnarray*}$ KEINE Lösung.

Dein Beispiel zeigt nun gerade einen solchen Fall, wo gleich drei dieser vier Zahlen Quadratzahlen sind - eher ein Extremfall, dass das mal wirklich so oft klappt:

$\begin{eqnarray*} 73 = 8^2+3^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 89 = 8^2+5^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 73\cdot 89 = (8\cdot 8 + 3\cdot 5)^2 + (8\cdot 5-8\cdot 3)^2 = (8\cdot 8 - 3\cdot 5)^2 + (8\cdot 5+8\cdot 3)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 73\cdot 89 = 79^2 + 16^2 = 49^2 + 64^2 = 79^2+4^4 = 7^4+8^4 \end{eqnarray*}$ .

07.03.2021, 17:47

Eldar

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Besten Dank - das ist wirklich aufschlussreich und eine große Hilfe!

07.03.2021, 21:30

Eldar

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Ich habe hier mal eine CSV mit Fallbeispielen/Lösungen abgelegt. Es ist gar nicht so selten, dass man drei Lösungen für einen Fall bekommt.

Allerdings habe ich keinen einzigen Fall mit Vier Lösungen - geht das überhaupt (vier Lösungen)?

08.03.2021, 08:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von Eldar
Es ist gar nicht so selten, dass man drei Lösungen für einen Fall bekommt.

Das will ich gar nicht in Abrede stellen - womöglich gibt es sogar unendlich viele Paare mit dieser Eigenschaft.

Allerdings wird es für große "zufällig" gewählte Primzahlen $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p\equiv q\equiv 1\bmod 4 \end{eqnarray*}$ sicher zunehmend schwieriger, unter den zwei positiven (geordneten) Lösungspaaren $\begin{eqnarray*} (a,c) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} pq = a^2+c^2 \end{eqnarray*}$ überhaupt eins zu finden, wo $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ Quadratzahl sind.

08.03.2021, 09:19

Eldar

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Vielen Dank - das sehe ich auch so.

Können wir eigentlich ausschließen, dass es vier Lösungen pro Fall gibt? Ich konnte bisher nix finden und mein Python-Programm hat über 6h gesucht.

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