Für zwei ungerade Primzahlen p<q finde natürliche Lösungen a,b für a^2+b^4=pq |
07.03.2021, 13:49 | Eldar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für zwei ungerade Primzahlen p<q finde natürliche Lösungen a,b für a^2+b^4=pq Gegeben seien zwei ungerade Primzahlen . Können wir (ohne Trial-&-Error) natürliche Lösungen für die Gleichung finden? Oder kann man einen Zusammenhang zwischen den beiden Primzahlen und natürlichen Lösungen herstellen? Meine Ideen: Teilweise gibt es sogar mehrere Lösungen, zum Beispiel oder . Gibt es ggf. sogar eine Möglichkeit anhand von eine Aussage über die Anzahl der Lösungen im Vorfeld zu treffen? |
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07.03.2021, 15:54 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist oder , dann gibt es schon mal garantiert keine Lösung. Du könntest folgende Aussage für deine Untersuchungen nutzen: hat für Primzahlen genau eine Lösung . ------------------------------------- Haben wir nun im Fall diese eindeutigen Lösungen und , so ist Andere ganzzahlige Lösungen von gibt es NICHT!!! D.h., wenn nicht (zufällig?!) eine der vier Zahlen eine Quadratzahl ist, so hat KEINE Lösung. Dein Beispiel zeigt nun gerade einen solchen Fall, wo gleich drei dieser vier Zahlen Quadratzahlen sind - eher ein Extremfall, dass das mal wirklich so oft klappt: . |
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07.03.2021, 17:47 | Eldar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Besten Dank - das ist wirklich aufschlussreich und eine große Hilfe! |
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07.03.2021, 21:30 | Eldar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe hier mal eine CSV mit Fallbeispielen/Lösungen abgelegt. Es ist gar nicht so selten, dass man drei Lösungen für einen Fall bekommt. Allerdings habe ich keinen einzigen Fall mit Vier Lösungen - geht das überhaupt (vier Lösungen)? |
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08.03.2021, 08:32 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das will ich gar nicht in Abrede stellen - womöglich gibt es sogar unendlich viele Paare mit dieser Eigenschaft. Allerdings wird es für große "zufällig" gewählte Primzahlen mit sicher zunehmend schwieriger, unter den zwei positiven (geordneten) Lösungspaaren mit überhaupt eins zu finden, wo oder Quadratzahl sind. |
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08.03.2021, 09:19 | Eldar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank - das sehe ich auch so. Können wir eigentlich ausschließen, dass es vier Lösungen pro Fall gibt? Ich konnte bisher nix finden und mein Python-Programm hat über 6h gesucht. |
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