Indikatorfunktion Kreuzprodukt integrieren

07.03.2021, 15:54	Ori	Auf diesen Beitrag antworten »
Indikatorfunktion Kreuzprodukt integrieren Hallo wollte fragen, ob ich richtig gerechnet habe? Aufgabe : Berechne folgendes Integral: $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \left(\int_{1}^{2} \! 1_{\left[0,1/2\right]\times \left[1,3/2\right] }\left(\left(x,y\right) \right) \, dx \right) \, dy \end{eqnarray}$ 1.) = $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \left(\int_{1}^{2} \! 1_{\left[0,1/2\right] }\left(x\right) 1_{\left[1,3/2\right] }\left(y\right) \, dx \right) \, dy \end{eqnarray}$ 2.) = $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \left(1_{\left[1,3/2\right] }\left(y\right) * \int_{1}^{2} \! 1_{\left[0,1/2\right] }\left(x\right) \, dx \right) \, dy \end{eqnarray}$ 3.) = $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \left(1_{\left[1,3/2\right] }\left(y\right) * \int_{0}^{1/2} \! \, dx \right) \, dy \end{eqnarray}$ Hier ist mein Problem ich weis nicht ob ich so die Grenzen setzten darf für mein inneres Integral? Da ich von 1 nach 2, $\begin{eqnarray} 1_{\left[0,1/2\right] \left(x\right) } \end{eqnarray}$ integrieren soll was eigentlich Null sein sollte. 4.) = $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! \left(1_{\left[1,3/2\right] }\left(y\right) * 1/2 \right) \, dy \end{eqnarray}$ 5.) = $\begin{eqnarray} 1/2 * \int_{1}^{3/2} \! \, dy = 1/2 * \left(3/2 - 1\right) = 1/2 * 1/2 = 1/4 \end{eqnarray}$ Hier auch, $\begin{eqnarray} 1_{\left[1,3/2\right] \left(y\right) } \end{eqnarray*}$ liegt nicht auf dem geforderten Integrationsweg.
08.03.2021, 08:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \int\limits_a^b 1_M(x) ~ \dd x = \int\limits_{\mathbb{R}} 1_{M\cap [a,b]}(x) ~ \dd x = \lambda(M\cap [a,b]) \end{eqnarray}$ mit Lebesgue-Maß $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Und wenn dieser Durchschnitt $\begin{eqnarray} M\cap [a,b] \end{eqnarray}$ leer ist (oder "fast" leer, etwa nur aus endlich vielen Punkten bestehend), dann kommt eben Null heraus.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »