Doppelintegral über Indikatorfunktion von definierter Menge

08.03.2021, 15:33

Ori

RE: Doppelintegral über Indikatorfunktion von definierter Menge

Wie rechnet man folgendes? :

Sei $\begin{eqnarray*} C := \left\{ \left(x,y\right) \in \mathbb R ^{d} : x < y \right\} \end{eqnarray*}$ , berechne das Integral:
$\begin{eqnarray*} \int_{\left[0,1\right]\times \left[0,1\right] } \! 1_{C}\left(x,y\right) \, d(x,y) \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \int_{\left[0,1\right]\times \left[0,1\right]\cap C } \! 1 \, d(x,y) \end{eqnarray*}$

Was ist C aber?

Meine Vermutung:

C : = $\begin{eqnarray*} (-\infty , y]^{d} \end{eqnarray*}$

oder

C := $\begin{eqnarray*} (x , y]^{d} \end{eqnarray*}$

Zwei Beiträge zusammengefasst, damit es nicht so aussieht, als ob schon jemand antwortet. Steffen

09.03.2021, 07:45

HAL 9000

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Es fehlt die Erläuterung, welche (Halb-)Ordnung < du da auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ betrachten willst: Etwa die komponentenweise?

Zitat:

Original von Ori
Meine Vermutung:

C : = $\begin{eqnarray*} (-\infty , y]^{d} \end{eqnarray*}$

oder

C := $\begin{eqnarray*} (x , y]^{d} \end{eqnarray*}$

Das ist offensichtlich Unsinn, da ja $\begin{eqnarray*} C\subset \mathbb{R}^{2d} \end{eqnarray*}$ ist. Außerdem hängt $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ von keinem $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ab - in der Definition von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ sind diese beiden Symbole lediglich Platzhalter und könnten dort genausogut $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ genannt werden.

Während du nochmal genauer über $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ nachdenkst, verrate ich schon mal das Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \int\limits_{\left[0,1\right]^2\cap C} 1 ~ \dd(x,y) = \frac{1}{2^d} \end{eqnarray*}$ .

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