Normalverteilung (Approximation)

09.03.2021, 11:06	MayerHubert123	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalverteilung (Approximation) Meine Frage: Firma A beliefert Firma B mit Schaltern. Bei einer Kontrolle werden 500 Schalter von Firma B als Stichprobe entnommen. Wenn 5% von den Schaltern defekt sind, wird die lieferung nich angenommen. Wie hoch ist die Ws, dass eine Lieferung nicht angenommen wird, wenn tatsächlich: a.) Bei einer großen Lieferung wirklich 7% defekt sind b.) Bei einer Lieferung von 5000 tatsächlich 300 defekt sind (Nutzen Sie eine passende Approximitation, auch wenn die Bedingungen nicht stimmen) Meine Ideen: Meine Frage: Welche Verteilung ist zu benutzen... ich komme leider nicht weiter.. Würde mich sehr über Ihre Hilfe freuen, dieses Beispiel zu lösen.
09.03.2021, 11:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn bei a) unspezifiziert nur von "großer Lieferung" gesprochen wird, dann steckt die Annahme dahinter, dass der Lieferumfang sehr viel größer ist als die Stichprobengröße 500. Was dann bedeutet, dass die Stichprobennahme, die ja eigentlich ein Ziehen ohne Zurücklegen ist (für b) relevant!) modellmäßig dann doch als Ziehen mit Zurücklegen betrachtet werden kann (d.h., der Defektanteil in der Restlieferung ändert sich durch die Entnahme eines Stückes nicht signifikant). Theoretischer Hintergrund ist die Verteilungskonvergenz $\begin{eqnarray} HG(N,M,n)\to B(n,p) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} N\to\infty \end{eqnarray}$ bei gleichzeitigem $\begin{eqnarray} \frac{M}{N}\to p \end{eqnarray}$ , d.h. aus einer eigentlich Hypergeometrischen Verteilung wird im Grenzübergang eine Binomialverteilung,
09.03.2021, 11:22	MayerHubert123	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Danke für die Antwort! Das macht Sinn! Doch mir stellt sich trotzdem die Frage, welche Ws, was ich als n, etc nun verwenden.
09.03.2021, 11:31	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich deine Überschrift richtig deute, dann willst du weder hypergeometrische Verteilung (passend bei b)) noch Binomialverteilung (passend bei a)), sondern für beide approximativ eine Normalverteilung zur Berechnung anwenden? Kannst du tun, inklusive Stetigkeitskorrektur bedeutet das für die Defektanzahl $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ in der Stichprobe $\begin{eqnarray} P(X\leq k) \approx \Phi\left( \frac{k+0.5-\mu}{\sigma}\right) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ Erwartungswert und $\begin{eqnarray} \sigma^2 \end{eqnarray}$ die Varianz der zugrundeliegenden Binomial- oder hypergeometrischen Verteilung sind. D.h., a) Für $\begin{eqnarray} X\sim B(n,p) \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} \mu=np \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma^2 = np(1-p) \end{eqnarray}$ zu nehmen. b) Für $\begin{eqnarray} X\sim HG(N,M,n) \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} \mu=n\frac{M}{N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sigma^2 = n\frac{M}{N}\left(1-\frac{M}{N}\right)\frac{N-n}{N-1} \end{eqnarray}$ . 5% Fehleranteil in der Stichprobe bedeutet, dass bei 25 und mehr defekten Schaltern die Lieferung abgelehnt wird. Die zugehörige Wahrscheinlichkeit ist somit $\begin{eqnarray} P(X\geq 25) = 1-P(X\leq 24) \end{eqnarray}$ .
09.03.2021, 12:09	MayerHubert123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, danke!!! Das bedeutet bei a.) Verwende ich die 7% als p, was benutze ich jedoch als n? Kürzt sich das weg? Bei b.) Als N=5000 und n=300? Und als p=300/5000? Dann berechne ich die Ws, dass gilt: X>25 (bei a und auch b) stimmt das so?
09.03.2021, 12:10	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
n=500 ist in beiden Teilaufgaben der Stichprobenumfang. In b) ist N=5000 der Lieferumfang, worunter M=300 defekte Schalter fallen.
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09.03.2021, 19:48	MayerHubert123	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke Die Wahrscheinlichkeit, dass die Lieferung abgelehnt wird beträgt: a: 96.01% (erwartungswert: 35, standardabw.: 5.705) b: 83.94% (erwartungswert: 30, standardabw.: 5.038) Könnte das stimmen (habe bei a die binomialverteilung und auch bei b die hypergeometrische mit der normalverteilung angenähert)

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