Staudamm Volumen berechnen

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enmi Auf diesen Beitrag antworten »
Staudamm Volumen berechnen
Hallo,

ich sollte folgende Aufgabe lösen:

Eine Staumauer ist 8m hoch und besitzt in jeder Höhe eine rechteckige Querschnittsfläche. Die Länge der Mauer nimmt von 5 m an der tiefsten Stelle auf 10 m an der höchsten Stelle linear zu, die Breite nimmt von 3 m unten auf 1 m oben linear ab. Wie viel m³ Beton wurde für die Staumauer verbaut?

Ich habe ein Bild der Staumauer angehängt.
[attach]52825[/attach]

Ich denke, dass das Volumen mit Hilfe des Integrals berechnet werden muss. Wahrscheinlich in den Grenzen von 0 bis 8. Die Querschnittsfläche ist rechteckig. Unten wäre dass dann 5x3 und oben 10x1

Aber irgendwie fehlt mir die Idee für einen Ansatz.

Danke für eure Hilfe

lg
enmi
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man diese Mauer nicht in Quader und Paare von halben Quadern zerlegen ? Ein Paar von Quadern hat dasselbe Volumen wie ein ganzer Quader. Die Maße sollten besser in m statt in cm angegeben werden.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Oder die Parallelogramme werden durch flächengleiche Rechtecke ersetzt...

Viele Grüße
Steffen
enmi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Kann man diese Mauer nicht in Quader und Paare von halben Quadern zerlegen ? Ein Paar von Quadern hat dasselbe Volumen wie ein ganzer Quader.


Interessanter Ansatz.
Ich habe den Mittelteil mit (10+5)·8/2 = 60m³ berechnet
Die beiden seitlichen Teile sind aber nicht so einfach zu berechnen verwirrt

Zitat:
Original von Elvis
Die Maße sollten besser in m statt in cm angegeben werden.

Ich habe die Zeichnung neu gemacht und auch bemerkt, dass ich 2 Bemaßungen vergessen hatte. geschockt
enmi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Steffen Bühler
Oder die Parallelogramme werden durch flächengleiche Rechtecke ersetzt...

Viele Grüße
Steffen


Wie soll das gehen?
enmi Auf diesen Beitrag antworten »

Lässt sich diese Aufgabe nicht auch mit Hilfe der Integralrechnung lösen?
 
 
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von enmi
Zitat:
Original von Steffen Bühler
Oder die Parallelogramme werden durch flächengleiche Rechtecke ersetzt...

Wie soll das gehen?

Ein Parallelogramm, das unten 5 Meter breit ist und oben 10 Meter breit, ist im Durchschnitt 7,5 Meter breit.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Breite b und Dicke d sind lineare Funktionen der Höhe mit




der Querschnitt q ist dann und das Volumen differenzial

Jetzt braucht man noch ein bestimmtes Integral und eine Stammfunktion...

Integralrechnung braucht auch der Konstrukteur denn er muss die Kraft und den Angriffspunkt der Wasserkraft bei 90% Füllhöhe bestimmen.
Aber diese Staumauer scheint schon vom ersten Blick her stabil zu sein. Freude
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Staudamm
Guten Tag,

ich habe die Staumauer umgekippt. Dann besteht sie aus einem Quader, der ein Trapez als Grundfläche hat und 1 m dick ist. Der darauf liegende Keil ist ein halber Quader der Dicke 2m.

Alles zusammen ergibt für mich ein Volumen von 120 m^3.

Aber wahrscheinlich habe ich irgendwo einen kapitalen Denkfehler untergebracht
rumar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Staudamm
Zitat:
"einem Quader, der ein Trapez als Grundfläche hat"

Solche Quader gibt es nicht, denn alle Seitenflächen (und also auch jede mögliche "Grundfläche") eines Quaders sind Rechtecke.
Ich würde doch bei der Berechnung mittels Integralrechnung bleiben, wie von Dopap angedeutet.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bekomme (in m³) mit folgender Methode:

Vom Volumen eines Prismas mit Trapez-Grundfläche (a = 3, c = 1, h = 8) und der Höhe 10 wird das Volumen von
- vier schiefen (Eck?-) Pyramiden (2.5 · 1 · 8) und
- zwei Keilen (2.5 · 1 · 8)
abgezogen.

Das gleiche Ergebnis bekomme ich mit der von Dopap vorgeschlagenen Integral-Methode, nach der enmi gefragt hat.

(Eine ähnliche Aufgabe siehe hier.)
enmi Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für eure Hinweise. Ich versuche jetzt mal, ob ich ebenfalls auf 113,3 m³ komme.
LG
enmi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Breite b und Dicke d sind lineare Funktionen der Höhe mit

b(0)=5,b(8)=10d(0)=3,d(8)=1


der Querschnitt q ist dann q(h)=b(h)⋅d(h) und das Volumen differenzial dV=q(h)dh

Jetzt braucht man noch ein bestimmtes Integral und eine Stammfunktion...


gemäß deinen Anweisungen habe ich

für b die lineare Funktion b(h) = (5/8)h +5 und
für a die lineare Funktion d(h) = -0,25h +3 erhalten

demnach ergibt sich für den Querschnitt

q(h)=b(h)⋅d(h)= (-5/32)z² + (5/8)z + 15

Das Integral von q(h) = (-5/96)z³ + (5/16)z² + 15z [0;8]

und das wäre dann 113,333333.... m³

Soweit scheint alles zu stimmen. Mir ist aber noch nicht ganz klar warum ich die Breite (b) und die Dicke (d) mit linearen Funktionen angeben darf und weshalb das Integral von q(h) das Volumen ergibt. Hier wäre ich noch froh, wenn ihr mir eine Erklärung dafür liefern könntet.

Besten Dank im Voraus

LG
enmi
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das hier einmal gründlich aufgeschrieben.

Zunächst lege ich den Körper in ein kartesisches -Koordinatensystem, so daß seine Grundfläche in der -Ebene liegt und die - sowie die -Ebene zu Symmetrieebenen werden. Die Figur zeigt eine schematische Sicht aus der Vogelperspektive.

[attach]52828[/attach]

Alle Schnittflächen parallel zur -Ebene sind Rechtecke. Ist daher mit der Flächeninhalt des Schnittrechtecks in der Höhe über der -Ebene, so ist



das gesuchte Volumen.

In der Figur sei der rechte untere Randpunkt des Rechtecks in der Höhe . Dann ist



der Inhalt der Querschnittsfläche.

liegt auf der Geraden durch und . Deren Punkte besitzen die Parameterdarstellung



Ist die dritte Koordinate eines Geradenpunktes , so bekommt man . Mit diesem geht man in die Parameterdarstellung und findet



Es folgt:

Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wichtig ist, dass Querschnitt und Höhe stets senkrecht stehen. Dann greift das Prinzip von Cavalieri

[attach]52829[/attach]

jedes Volumenelement ist dann ein sehr dünnes "Brettchen".

Was wäre wenn die Dichte vom Beton linear mit der Höhe abnehmen würde?
Gut, das ist dann nicht mehr Stereometrie sondern Sachaufgabe.

wenn zum Beispiel ( natürlich in ) gelten würde, dann hätte ein Massenelement

an Masse. Die Gesamtmasse der Mauer ist dann

Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Staudamm Volumen berechnen
Da gibt es so eine schöne Formel für einen Pyramidenstumpf, die sollte man hier anwenden können.



Dabei ist A die Grundfläche und B die obere Fläche des Stumpfes.
enmi Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank für die umfangreichen Antworten. Ihr habt mir wirklich weitergeholfen.
Danke
lg
enmi
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Staudamm Volumen berechnen
Zitat:
Original von Ulrich Ruhnau
Da gibt es so eine schöne Formel für einen Pyramidenstumpf, die sollte man hier anwenden können.



Dabei ist A die Grundfläche und B die obere Fläche des Stumpfes.


Jetzt müßtest du nur noch sagen, was beim konkreten Beispiel inhaltlich und sein sollen. Wenn man den Körper in der Ansicht des Eröffnungsbeitrags nimmt mit dem 3-mal-5-Rechteck als "Grundfläche" und dem 1-mal-10-Rechteck als "obere Fläche", dann ist er kein Pyramidenstumpf. Dazu müßten ja die zur Grundfläche parallelen Schnittflächen zueinander ähnlich sein und sich die Seitenkanten, wenn man sie fortsetzt, in einem Punkt treffen. Und in anderen Ansichten sehe ich ebensowenig die Form eines Pyramidenstumpfs.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Staudamm Volumen berechnen
@Leopold
Du hast recht! Ich habe in der Zwischenzeit nachgerechnet. Beim Integrieren erhalte ich



Wenn ich jedoch mit der Formel für Pyramidenstümpfe rechne, erhalte ich:



Ein verblüffender Unterschied! Also kann man hier meine Pyramidenstumpf-Formel nicht anwenden.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Eine merkwürdige Argumentation. Weil ein Ergebnis nicht mit einem anderen übereinstimmt, ist der Ansatz falsch? Und wenn hier (zufällig) dasselbe herausgekommen wäre, wäre der Ansatz richtig gewesen? Nein, der Körper ist schlicht kein Pyramidenstumpf. Und deshalb kann auch die Volumenformel für den Pyramidenstumpf nicht angewendet werden.
Ulrich Ruhnau Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold
Die Formel für Pyramidenstümpfe ist auch für Kegelstümpfe anwendbar. Das hat mich dazu verleitet, über Gebühr zu verallgemeinern.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ging mir ja ähnlich mit meinem Ansatz der drei gemittelten Parallelogramme, womit ich übrigens dasselbe wie Bürgi herausbekam.

Es ist ohnehin interessant, wie man mit intuitiven Ansätzen danebenliegen kann. Ich erinnere mich an eine Antwort in de.sci.mathematik, wo ich das Volumen eines Torus über dasjenige eines Zylinders herleiten wollte, den ein Kraftmeier zu einem Ring verbogen hatte. Das Ergebnis war zwar richtig, aber was bekam ich nicht alles zu hören...

Viele Grüße
Steffen
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