Besoffener Student

09.03.2021, 14:30

Luftikus

Besoffener Student

Ein (Mathe-) Student ist besoffen und will auf halbem Wege zwischen Studentenkneipe und Zuhause, in der Wegmitte, 100 mal eine Münze werfen. Zeigt die Münze bei einem Wurf "Kopf", geht er einen Schritt Richtung Zuhause, zeigt die Münze bei einem Wurf "Zahl", dann macht er einen Schritt Richtung Kneipe.
Was kann er erwarten, wo er nach 100 Münzwürfen mit welcher Wahrscheinlichkeit steht?
(wir gehen natürlich davon aus, dass er lieber wieder Richtung Kneipe steht smile

)

09.03.2021, 15:21

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Immer noch in der Mitte.
Ich verschiebe das Thema mal nach Stochastik.

mY+

09.03.2021, 15:29

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mYthos
Immer noch in der Mitte.

Das mag die erwartete Position sein, aber nicht unbedingt die wahrscheinlichste - zumindest dann nicht, wenn die Punkte "Kneipe" und "Zuhause" absorbierend sind, d.h., bei Erreichen nicht mehr verlassen werden. Hängt von der Länge des Kneipenheimweg ab - ist der sehr kurz, dann hat man natürlich eine hohe Wahrscheinlichkeit, in den Absorptions-Punkten vor Ablauf der Münzserie zu landen.

Alles in allem geht es also um die diskrete symmetrische Irrfahrt, die nun wirklich schon in nahezu allen Ecken komplett ausgeleuchtet wurde.

10.03.2021, 13:01

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Alles in allem geht es also um die diskrete symmetrische Irrfahrt, die nun wirklich schon in nahezu allen Ecken komplett ausgeleuchtet wurde.

Für dich vielleicht (als Stochastiker). Offenbar (und erfahrungsgemäß) gibt es da noch "klärungsbedarf".
Es scheint sehr naheliegend, dass der Student erwartungsgemäß wieder am Startort landet, aber es ist eben nicht so. Er landet mit Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} {,} \; n=\text{Anzahl der Schritte} \end{eqnarray*}$ vom Startort ab. Und das mit je 50% in beiden Richtungen.

10.03.2021, 14:01

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Was man ja erwartet, ist, dass 50% der Würfe der Münze "Kopf" und 50% "Zahl" zeigen. Dem ist auch so bei der (fairen) Münze.
Aber das Modell lässt sich so nicht (auf alle Würfe) anwenden, weil jeder Wurf die Ausgangslage ändert (da liegt der Sinn dieses Threads).
Also mit relativen Wahrscheinlichkeiten betrachtet, der Startort der Abstandsgeraden sei der Nullpunkt, Schrittweite=1:

1. Wurf: 50% -1 und 50% +1
2. Wurf: 50% -2 und 50% 0 bzw. 50% 0 und 50% +2
usw.

Man sieht dann, dass sich der Standort im Mittel vom Nullpunkt entfernt, eben mit Wurzel aus Anzahl in beiden Richtungen.

PS: Ähnliche Überlegungen hat schon Einstein angestellt, um in seiner Doktorarbeit die Brownsche Bewegung zu erklären.

10.03.2021, 14:25

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Luftikus
Es scheint sehr naheliegend, dass der Student erwartungsgemäß wieder am Startort landet, aber es ist eben nicht so.

Doch, das ist so. mYthos hat da vollkommen Recht, der Erwartungswert des Standortes ist diese Mitte, und das zu jedem Zeitpunkt.

Zitat:

Original von Luftikus
Er landet mit Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} {,} \; n=\text{Anzahl der Schritte} \end{eqnarray*}$ vom Startort ab.

Das ist eine ANDERE Größe, über die du sprichst, nämlich der Erwartungswert des BETRAGES der Abweichung vom Startpunkt. Du kannst eine Größe, die symmetrisch positive und negative Werte annimmt, und Betrag dieser Größe nicht über denselben Kamm scheren. Augenzwinkern

10.03.2021, 14:32

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich rede hier von Abständen, einer positiv-semidefiniten Größe.
Man kann es auch mutwillig falsch verstehen. Augenzwinkern

10.03.2021, 14:32

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Immerhin so interessant, dass das Thema aus dem OffTopic hierher zu verschieben war. smile

mY+

10.03.2021, 17:49

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Luftikus
Was kann er erwarten, wo er nach 100 Münzwürfen mit welcher Wahrscheinlichkeit steht?

Wo ist ganz klar eine Frage nach der Position, und die ist bezogen auf den Startort durchaus vorzeichenbehaftet. Dieses Vorzeichens wegzulassen nenne ich mal mutwilliges falsches Verstehen. Augenzwinkern

Wenn es dir wirklich um den Abstandsbetrag vom Startpunkt geht, dann hättest du das an der Stelle anders formulieren müssen.

Zitat:

Original von Luftikus
Er landet mit Erwartungswert $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} {,} \; n=\text{Anzahl der Schritte} \end{eqnarray*}$ vom Startort ab.

Naja, stimmt nicht so ganz: Nach $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Schritten ist der zufällige Abstand zum Startpunkt gleich $\begin{eqnarray*} Y_n = \left|2X_n-n\right| \end{eqnarray*}$ mit einer binomialverteilten Größe $\begin{eqnarray*} X_n\sim B\left(n,\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray*}$ .

Dessen Erwartungswert ist $\begin{eqnarray*} E\left(Y_{2m-1}\right) = E\left(Y_{2m}\right) = \frac{m}{2^{2m-1}} \binom{2m}{m} \end{eqnarray*}$ . Für große $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ ergibt das mit Stírlingscher Formel die Näherung

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{4}{\pi}m}\approx \sqrt{\frac{2}{\pi}n}\approx 0.798\sqrt{n} \end{eqnarray*}$ .

Richtig ist allerdings $\begin{eqnarray*} E\left(Y_n^2\right)=n \end{eqnarray*}$ , vielleicht hattest du das ja gemeint.

10.03.2021, 20:47

Luftikus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
Richtig ist allerdings $\begin{eqnarray*} E\left(Y_n^2\right)=n \end{eqnarray*}$ , vielleicht hattest du das ja gemeint.

Ja, meinte $\begin{eqnarray*} \sqrt{\Big \langle Y_n^2 \Big \rangle} \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank für die Erläuterungen! Freude

Neue Frage »

Antworten »

Besoffener Student

Verwandte Themen