Unendlich hoher Potentialtopf

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Markooo Auf diesen Beitrag antworten »
Unendlich hoher Potentialtopf
Meine Frage:
Hallo,

ich hätte eine Frage zum unendlich hohen Potentialtopf, indem sich ein Elektron befindet: Dieser hat eine Länge von L.
Oft werden in Büchern als Randbedingungen Psi(0)=Psi(L)=0 angegeben.
Das bedeutet aber auch, dass wir zum Schuss nur noch eine Lösung Psi(x) herausbekommen, welche bloß auf [0,L] definiert ist, da ja unsere Randwerte den Abschluss unseres Definitionsbereiches definieren. Ich würde aber gerne eine Wellenfunktion haben, welche auf dem ganzen R definiert ist, um dann zu sagen, dass die Wellenfunktion auch bei bspw. x>L einen Wert hat (der dann null sein muss). Wie muss ich hier vorgehen und die Randbedingungen wählen?

Vielen Dank im Voraus!

Meine Ideen:
keine Ideen
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst dir die Sache ziemlich schwer, indem du Fragen stellst, die mir ziemlich gekünstelt erscheinen.

Formal kannst du die x-Achse von Beginn an in 3 Gebiete A, B, C einteilen:

Gebiet A: links vom Topf, also x<0
Gebiet B: innerhalb des Topfes, also 0<x<L
Gebiet C: rechts vom Topf, also x>L

In den Gebieten A und C forderst du von Beginn an , weil das Elektron in diese Gebiete wegen des hohen Potenziales nicht eindringen kann. Also kann sich das Elektron nur im Gebiet B aufhalten, an dessen beiden Grenzen x=0 und x=L die Randbedingung gelten.
Markooo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ehos,

normalerweise wählt man ja die Randbedingung immer so, dass diese zur Wahrscheinlichkeitsinterpretation passt, also das die Wellenfunktion für x gegen plus/minus unendlich gegen 0 geht.

Aber Psi einfach auf null zu setzten wo das Potential unendlich hoch ist, ist ja auch einfach nur so gemacht.
Das müsste man doch eigentlich auch ausrechnen können?!

Liebe Grüße

Marko
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Randbedingungen sind rein physikalisch motiviert, denn das Elektron kann nicht aus dem Topf heraus - ähnlich wie ein Ball an einer Wand abprallt. Ich würde da kein Problem sehen.

Übrigens müssen die Randbedingungen nicht immer so gewählt werden, dass die Wellenfunktion im Unendlichen verschwindet. Das ist nur ein Spezialfall, der oft auftritt.
Markooo Auf diesen Beitrag antworten »

https://www.youtube.com/watch?v=UtO0qKml...upS5K6&index=17

In 01:48:20h sagt auch Prof. Schuller, dass das Problem mit dem unendlich hohen Potentialtopf eigentlich viel komplizierter ist, als es in Büchern abgehandelt wird.
Mich würde halt der mathematisch korrekte Weg interessieren, wie man dieses Problem angeht, oder zumindest eine Idee.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Prof.Schuller sagt bei 1:48:24, dass der unendlich hohe Potenzialtopf das einfachste Problem sei, das zweiteinfachste sei der harmonische Oszillator.

Danach sagt er, dass die Sache schwierig wird, wenn man sogenannte periodische Randbedingungen hat - z.B. unendlich viele Potenzialtöpfe oder Coulombpotentiale nebeneinander. Das ist der Fall in realen Festkörpern, wo die freien Elektronen sich zwischen den Rümpfen der Atome bewegen, welche wie ein periodisches Gitter verteilt sind. Dieser Fall wird in der Festköperphysik betrachtet. Im Buch "Theoretische Phyik" von Walter Greiner Band 4 "Quantenmechanik I, Einführung" wird auch dieser Fall für die Diemnsion n=1 durchgerechnet.

Trotzdem ist der unendlich hohe Potentialtopf rechnerisch der einfachste Fall.
 
 
Markooo Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ehos,

ok, ich habe das ein wenig anders verstanden, aber sei es drum.

Aber fangen wir mal an, wie ich die Aufgabe angehen würde:
Ich möchte eine Wellenfunktion ausrechnen auf ganz R, daher definiere ich meine DGL auch auf dem maximal möglichen Gebiet R.
Da ich immer eine Wellenfunktion auf ganz R haben möchte, habe ich nur die Möglichkeit als Randbedingung zu wählen, dass Psi(x) gegen plus/minus unendlich gegen 0 geht. Siehe Dirichel-Randwertproblem:

https://de.wikipedia.org/wiki/Dirichlet-Randbedingung

Und nun muss ich die DGL mit stückweise unendlich hohem Potential lösen...


>>Meiner Meinung nach ist das nicht möglich, da man mit unendlichen Zahlen operiert. Die einzige Möglichkeit die ich sehe ist, dass man den endlichen Potentialtopf rechnet und dann das Potential gegen unendlich fährt.

>>Du hast mir ja geantwortet:" In den Gebieten A und C forderst du von Beginn an È=0, weil das Elektron in diese Gebiete wegen des hohen Potenziales nicht eindringen kann." Aber das ist vielleicht anschaulich klar, aber keine mathematische Begründung.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Im Prinzip hast du recht: Man müsst eigentlich zuerst das Problem des endlich hohen Potenzialtopfes lösen und danach die Topfhöhe gegen unendlich streben lassen. Daraus ergäbe sich die Lösung für den unendlich hohen Potenzialtopf als Grenzfall.

Aus lern-ökonomischen Gründen wäre das aber unzweckmäßig, weil sich die Lösung des endlich hohen Potenzialtopfes nur numerisch berechnen lässt, wogegen die Lösung des unendlich hohen Potenzialtopfes so herrlich einfach ist. Hier folgt man einfach dem Prinzip: Zuerst das Einfache - danach das Schwierige. Deshalb macht man den zweiten Schritt vor dem ersten.
Markooo Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, super!
Vielen Dank für deine Hilfe und Diskussion!
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