Optimierung mittels Extremwertberechnung |
| 10.03.2021, 23:53 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Optimierung mittels Extremwertberechnung Ein Kanal hat den abgebildeten Querschnitt. Der Umfang soll 160 cm sein. Für welches Mass x wird die Querschnittsfläche maximal? Ich hab mir überlegt: Hauptbedingung: x * b + Pi * (x/2)^2 soll maximal sein (wobei b die Breite ist) NB: U = 160cm --> x = (320 - 4b) / (2+Pi) Zielbedingung: (das x eingesetzt in die HB) (320 - 4b) / (2+Pi) * b + Pi * [((320 - 4b) / (2+Pi)) / 2]^2 = 0 Kommt das gut so? Danke für Hinweise / Korrekturen. [attach]52835[/attach] |
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| 11.03.2021, 07:41 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
maximiere 2*x*h+pi*x^2/2 160=2*h+2*x+pi*x Dabei setze ich x=X/2 und h die Höhe über dem Halbkreis. |
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| 12.03.2021, 11:18 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man das durchrechnet, kommt ein erstaunliches Ergebnis heraus, und da fragt man sich, ob das nur für U=160 so ist. Die gleiche Rechnung mit beliebigem U zeigt dann, dass das Ergebnis immer erstaunlich ist. So gesehen ist das wieder einmal eine richtig schöne Aufgabe. 
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| 12.03.2021, 23:36 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Rechnung stimmt nicht (in die HB gehört die Fläche des Halbkreises). Besser ist es übrigens, aus der NB die Größe b zu berechnen und diese dann in die HB einzusetzen --> A(x) ---------- Das oftmals erstaunliche Ergebnis liegt in der Eigenheit von geometrischen Extremwertaufgaben ... mY+ |
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| 13.03.2021, 01:04 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich tippe darauf dass der Querschnitt ein Halbkreis ist. Richtig? |
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| 13.03.2021, 02:01 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, das nicht. Das Rechteck verschwindet nur dann, wenn der Kanal oben offen ist. Die Ansätze zeigen aber, dass oben ein Abschluss besteht, also X (bzw. 2x) zum Umfang gehört. Somit liegt die Besonderheit woanders. Es hat etwas mit einem Quadrat zu tun ... mY+ |
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| 13.03.2021, 07:42 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wurden Abwasserkanaele schon im antiken Rom so gebaut, und nur ich habe es nicht gewusst? 
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| 13.03.2021, 08:18 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Über den imposanten Pont du Gard bin ich schon spaziert, der Kanal ist rechteckig und oben offen aber natürlich kein Abwasserkanal. Mit einem im Längsverlauf U-förmigen Druckrohr hätte man sich das ganze Bauwerk sparen können und wir hätten ein Monument weniger. |
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| 13.03.2021, 10:58 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Alten waren schon richtig gute Geometer und Konstrukteure. Nur optimieren konnten sie nicht, dazu fehlte Analysis und Linear Programming. @Thomas007 Was ist los ? Du bist so still geworden. Stelle Fragen oder gib uns eine vollständige Lösung. |
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| 13.03.2021, 15:53 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Tut mir leid wegen der Stille. Also, ich habe eure Ratschläge befolgt: HB: NB: Die NB eingesetzt in die HB, so komme ich auf die gesuchte Strecke x: --> cm. Seid ihr auch aufs selbe Resultat gekommen? |
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| 13.03.2021, 16:04 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die ganze Länge X ist mit rd. 44,81 cm richtig. Du hättest allerdings auch herausbekommen sollen, dass die Höhe (h bzw. b bei dir) gleich der halben Länge x = X/2 ist. Somit bilden x und h ein Quadrat, und das ist das Besondere! Es ist immer besser, man rechnet das Ding zuerst einmal allgemein herunter, damit "sieht" man viel mehr. Eben, dass dann Und jetzt den gegebenen Wert einsetzen! Falls der Kanal oben offen ist, führt die Rechnung - wie schon von Dopap vermutet - für den Querschnitt auf einen einzigen Halbkreis, denn dann ist h = 0 (das Rechteck verschwindet). mY+ |
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| 13.03.2021, 16:23 | Thomas007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Recht hast du! h und b habe ich schon berechnet, und auch dasselbe gekriegt wie du. Nur eben...wäre mir überhaupt nicht aufgefallen, dass h und b ja die Hälfte bzw. das Doppelte voneinander sind. Danke für den Hinweis. Und die Hilfe!
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| 13.03.2021, 17:41 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Damit es auffällt, habe ich h und x=X/2 benutzt. Dann merke ich, dass h=x ist, und das Erstaunen darüber regt zum Nachdenken an. Rechnen kann jede/r, Mathematik beginnt mit Denken. 
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