Simultane Eigenvektoren

11.03.2021, 12:19	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Simultane Eigenvektoren Meine Frage: Ich frage mich, warum man in der Quantenmechanik beim Eigenwertproblem des allgemeinen Drehimpulses, bei der Bestimmung von simultanen Eigenvektoren nicht einfach das konstruktive Verfahren verwendet, mit dem man sich die simultanen Eigenvektoren bauen kann, wie man es in der linearen Algebra gelernt hat? Konkretes Problem siehe S.5 ganz oben von folgendem Link: https://www.ph.tum.de/academics/bsc/break/2014s/fk_PH0007_03_course.pdf Vielen Dank im Voraus! Meine Ideen: Keine Ideen
11.03.2021, 13:48	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In der linearen Algebra arbeitet man meistens in endlichdimensionalen Vektorräumen und mit Darstellungsmatrizen bei gegebenen Basen. So einfach scheinen die Verhältnisse in der Quantenmechanik nicht zu sein.
11.03.2021, 17:38	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Elvis, vielen Dank für deine Antwort! Aber gibt es denn in der Funktionalanalysis kein allgemeines (konstruktives) Verfahren, wie man sich solche Eigenfunktionen baut?
11.03.2021, 17:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es solche Verfahren in der Funktionalanalysis gibt, dann stimmen sie vermutlich mit dem überein, was die Physiker tun. Soviel ich weiß, gibt es keine verschiedenen Mathematiken für Mathematiker und Physiker - nur manchmal unterscheiden sich deren Denkweisen, Sprechweisen und Schreibweisen. In der Quantenmechanik wird alles benutzt, was in Hilberträumen gut und teuer ist.
11.03.2021, 23:27	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein ist das Auffinden der Eigenwerte und Eigenfunktionen fast immer schwierig. Eine formelmäßige (also nicht numerische) Lösung ist nur in sehr wenigen Fällen möglich - z.B. wenn das Gebiet kugelsymmetrisch oder quaderförmig ist. Speziell die Eigenwerte n(n+1) des Drehimpulsoperators (also des winkelabhängigen Anteils des Laplaceoperators) lassen sich ohne Rechnung durch trickreiche Symmetriebetrachtungen auffinden. Das wird z.B. in dem sehr guten Buch "Quantenmechanik" von Lew D. Landau vorgeführt (Band III seiner Lehrbuchreihe). In der von dir angebenen Quelle wird das auch angedeutet. Dieses Verfahren dürfte aber eher die Ausnahme sein und ist keinesfalls repräsentativ. Im Allgemeinen kommt man um komplizuerte Rechnungen nicht herum. Schon das Auffinden der Eigenwerte und Eigenfunktionen für das simple Parabelpotenzial V=x² ist ziemlich aufwendig. Es führt bekanntlich auf die hemiteschen Polynome.
14.03.2021, 11:55	Markooo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ehos und Elvis, vielen Dank für den Tipp! Ich werde mal in dem Buch nachschauen!
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