Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL |
| 12.03.2021, 12:12 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Hallo, ich hätte eine Frage zur Hermite DGL: https://de.wikipedia.org/wiki/Hermitesches_Polynom Kann es sein, dass die Lösung der Hermite-DGL mit n=0, H_0=1 ist, wobei H_0 den Bedingungen y(0)=1 und y'(0)=0 unterliegt? Meine darauf aufbauende Frage wäre: Warum ist man genau an SO einer Lösung so sehr interessiert? Da eine DGL zweiter Ordnung vorliegt, besteht das Fundamentalsystem ja aus zwei Lösungen, wobei die zweite Lösung bei gleichem n ja eine unendliche Reihe ist? Warum wird diese zweite Lösung z.B. auch in dem Wikipedia-Artikel nicht mit aufgeschrieben? Vielen Dank im Voraus! Meine Ideen: keine Idee |
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| 12.03.2021, 23:12 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Ich verstehe deine Frage nicht. Der Wikipedia-Artikel heißt Hermitesches_Polynom nicht "alle_Lösungen_der_HermiteschenDGL". Warum sollte man sich also dort mit einer Lösung beschäftigen, die kein Polynome ist? Was meinst du mit SO eine Lösung? Bei der Untersuchung der Hermite DGL stellt man eben fest, dass ein Polynom eine Lösung ist. Das ist deutlich handlicher als eine Potenzreihe. |
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| 12.03.2021, 23:15 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Hallo URL, mir geht es eigentlich auch darum, dass in der QM bei der Lösung des harmonischen Oszillator-Problems als Lösung eine Funktion angegeben wird, welche das Hermit-Polynom enthält, allerdings nicht die andere Fundamentallösung?! |
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| 12.03.2021, 23:40 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Hermiteschen Polynome ergeben sich bekanntlich bei der Lösung der Schrödingergleichung für solche Elektronen, welche in einem Parabelpotenzial gefangen sind - anders ausgedrückt - in einem "keilförmigen" elektrischen elektrischen Feld . Auf die Hermiteschen Polynome kommt man wie folgt: Man macht bei der Schrödingergleichung einen Reihenansatz und findet dann, dass diese Reihe für die verschiedenen Eigenwerte infolge der Randbedingungen bei gewissen Potenzen abbrechen muss. So ergeben sich für die verschiedenen Eigenwerte die Hermiteschen Polynomen. Gewisse andere Lösungen werden wegen der Randbedingungen nicht weiter berücksichtigt. Die Rechnung ist nicht schwer aber ziemlich langwierig. Schau' dir mal die Herleitung in einem geeigneten Lehrbuch an. Dann werden alle Fragen beantwortet. |
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| 13.03.2021, 00:05 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Ehos, im Anhang (Auszug aus meinem DGL-Skript) sieht man die 2 Fundamentallösungen. Mir ist klar, das die eine Lösung aufgrund dessen, das man den Eigenwert speziell wählt, irgendwo abbricht. Aber die andere Fundamentallösung ja nicht? Die ist immenoch ein unendliches Polynom... |
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| 13.03.2021, 00:07 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier befindet sich der Anhang |
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| 13.03.2021, 00:27 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL
Unter dem Link ist doch angegeben. Hermetische Polynoms spielen in der Quantenmechanik beim Harmonischen Oszillator eine Rolle. |
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| 13.03.2021, 08:43 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Hallo Ulrich, dies war ja nur eine "Einleitung"...die eigentliche Frage kam danach |
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| 13.03.2021, 10:37 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL
Was bedeutet SO? Wenn Du von einer zweiten Lösung sprichst, die bei Wikipedia nicht aufgeführt ist, solltest Du sie vielleicht selbst einmal angeben. |
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| 13.03.2021, 10:41 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Hallo Ulrich, siehe mein angehängtes PDF Dokument. Dort sind die beiden linear unabhängigen Lösungen angegeben, also einmal y1 und y2. |
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| 13.03.2021, 10:42 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Mit SO meine ich, dass die zweite Lösung, also die unendliche Reihe nicht berücksichtigt wird, sondern NUR das Polynom als Lösung.. |
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| 13.03.2021, 11:58 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Die Untersuchung des Oszillators führt grob gesagt auf Lösungen der Form Potenzreihe mal . Man kann wohl aus der Asymptotik der Koeffizienten der Potenzreihe herleiten, dass sich diese Potezreihe asymptotisch wie verhält (wie stringent man das herleiten kann, weiß ich nicht). Damit ist Potenzreihe mal nicht quadratisch integrierbar. Man kann sich auch einfach gleich den abbrechenden Potenzreihen, sprich Hermitpolynomen, zuwenden und feststellen, dass Lösungen der Form Hermitepolynom mal eine Orthonormalbasis von bilden. Also kann man getrost auf die Betrachtung der Potenzreihenlösungen der Hermit DGL verzichten. |
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| 13.03.2021, 12:12 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Hallo URL, vielen Dank für deine Antwort! Aber ich bin doch an der mathematischen Begründung, aufbauend auf dem was ich geschickt habe, wo man die 2 Fundamentallösungen sieht, dran interessiert |
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| 13.03.2021, 12:18 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Du musst dich schon entscheiden, worüber du reden willst. Lösungen der Hermite-DGL? Das sind Potenzreihen und Hermitepolynome. Im wiki Artikel über Hermitepolynome steht natürlich nichts über die Potenzreihenlösungen. Lösungen des Oszillatorproblems? Ich habe dir gerade versucht zu erklären, warum die Potenzreihenlösungen der HermiteDGL da keine Rolle spielen. |
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| 13.03.2021, 14:12 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Hallo URL, eigentlich bin ich an der Lösung des Oszillatorproblems der QM interessiert und frage mich, warum die zweite Lösung y2 (siehe PDF Anhang) nicht mitberücksichtigt wird, sondern bloß das Polynom, welches durch den speziellen Energiewert ja abbricht.. |
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| 13.03.2021, 14:13 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Siehe S.87 im Anhang, da wo steht:"immer noch unendliches Polynom..." |
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| 13.03.2021, 14:43 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Weil du mit der Lösung der Hermite DGL eine Lösung für den Oszillator bekommst, die die Form Potzenzreihe mal hat. Diese Lösung ist aber nicht quadratintegriebar, also nicht normierbar, kommt also physikalisch nicht in Betracht. |
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| 13.03.2021, 14:52 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Hallo URL, Vielen Dank für deine Antwort! müsste man das eigentlich aber nicht zeigen, dass Potenzreihe mal e^(-x^2) nicht quadratintegrabel ist? e^(-x^2) kann doch die Potenzreihe runterdrücken? |
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| 13.03.2021, 15:18 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Das sagte ich doch schon
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| 13.03.2021, 15:20 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Hallo URL, ok super! Dann vielen Dank für deine Hilfe! Liebe Grüße Marko |
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| 14.03.2021, 11:34 | Ulrich Ruhnau | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Hermite-Polynome, Lösung der Hermite-DGL Weil es so schön paßt: Hier die ersten 20 Wellenfunktionen des harmonischen Oszillators basierend auf den Hermitpolynomen: [attach]52856[/attach] |
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