Unleserlich! Mittlere Änderungsrate gleich lokale Änderungsrate

13.03.2021, 22:44

Weyowasdalos

Mittlere Änderungsrate gleich lokale Änderungsrate

Meine Frage:
Die mittlere Änderungsrate der Funktionenschar fa im Intervall [u ; v] ; u, v?? ist genauso groß
wie die lokale Änderungsrate von fa an der Stelle 10.
Beschreiben Sie, wie man ein solches Intervall [u ; v] ermi?elt.

Meine Ideen:
Also da bei f(10) eine extremstelle ist ist die lokale Änderungsrate = 0
Um die mittlere Änderungsrate auch 0 zu bekommen muss der Zähler, also f(v)-f(u) gleich 0 sein. Ich weiß allerdings nicht wie ich das rechnerisch ermitteln soll. Falls mein Ansatz überhaupt richtig ist

13.03.2021, 23:23

Ulrich Ruhnau

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RE: Mittlere änderungsrate gleich lokale änderungsrate

Zitat:

verbessertes Original von Weyowasdalos
Die mittlere Änderungsrate der Funktionenschar $\begin{eqnarray*} f_a(x) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} x\in [u ; v] \end{eqnarray*}$ ; u, v?? ist genauso groß
wie die lokale Änderungsrate von $\begin{eqnarray*} f_a(x) \end{eqnarray*}$ an der Stelle 10.
Beschreiben Sie, wie man ein solches Intervall [u ; v] ermi?elt.

Was Du beschrieben hast, läßt sich auch mathematisch ausdrücken.

$\begin{eqnarray*} f'_a(10)=\frac 1{v-u}\int\limits_{u}^{v} f'_a(x) \, dx=\frac{f_a(v)-f_a(u)}{v-u} \end{eqnarray*}$

Das ist im Wesentlichen der Mittelwertsatz für die Ableitung einer Funktion. Wenn Du an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=10 \end{eqnarray*}$ eine Tangente an die Funktion anlegst, wird diese parallel zu einer Geraden sein, die durch die Punkte $\begin{eqnarray*} (u,f_a(u)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (v,f_a(v)) \end{eqnarray*}$ geht. Du mußt die Tangente also nur parallelverschieben bis sie die Funktion links und rechts von x=10 schneidet. Dort liest Du $\begin{eqnarray*} x_1=u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=v \end{eqnarray*}$ ab. Es muß gelten $\begin{eqnarray*} u\le 10\le v \end{eqnarray*}$ und die Beziehung oben.

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