Simultane Eigenvektoren |
| 14.03.2021, 12:17 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Simultane Eigenvektoren Beim simultanen Diagonalisieren von 2 diagonalisierbaren Abbildungen A und B, welche auf einem endlich dimensionalen Vektorraum definiert sind, habe ich mir die Frage gestellt: Es gibt zwar die Bedingung, dass wenn A und B kommutieren dies äquivalent dazu ist, dass die beiden Matrizen eine simultane Eigenbasis besitzen, aber... 1.) Muss im Allgemeinen zum simultanen diagonalisieren gelten, dass die beiden Matrizen A,B gleich viele Eigenwerte haben müssen und ZUSÄTZLICH die Dimension der Eigenräume übereinstimmen muss, also dim(E(lamda1))=dim(E(chi1)), dim(E(lamda2))=dim(E(chi2)), dim(E(lamda3))=dim(E(chi3))... Als eine Art notwendige Bedingung zum simultanen diagonalisieren. Beispiel: Wir haben die zwei 6x6 Matrizen: A und B. A hat die Eigenwerte {lamda1,lamda2,lamda3} B hat die Eigenwerte {chi1,chi2,chi3} Meine Ideen: keine Idee |
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| 14.03.2021, 13:12 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Simultane Eigenvektoren Nein, muss es nicht. Du kannst dir zwei beliebige Diagonalmatrizen hinschreiben. DIe beiden sind dann offenbar bzgl. der kanonischen Basis simultan diagonalisierbar. Bzgl. der Verteilung der Eigenwerte hast du alle Freiheiten. |
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| 14.03.2021, 15:49 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Simultane Eigenvektoren Hallo URL, stimmt, du hast Recht! Vielen Dank für deine Hilfe! Liebe Grüße Marko |
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| 14.03.2021, 17:31 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Simultane Eigenvektoren Hallo URL, eine Rückfrage hätte ich noch: Führt denn nicht die BEDINGUNG [A,B]=0 dazu, dass meine obige Bedingung gilt? Bspw. ist es ja so, dass im Falle, dass A Eigenwerte hat, die alle nicht entartet sind und [A,B]=0 ist, daraus folgt, dass B auch ein nicht entartetes Spektrum hat, also wir IMMER nur 1dim Eigenräume haben für B. Wenn nun A ein entartetes Spektrum hat UND [A,B]=0 gilt, dann müsste doch nach dem gleichen Prinzip (gleich gedacht), wie für ein nicht entartetes Spektrum, B gleich viele Eigenwerte wie A haben und die jeweiligen Dimensionen der entarteten Eigenräume von A und B übereinstimmen? |
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| 14.03.2021, 19:57 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Simultane Eigenvektoren Für zwei Diagonalmatrizen A,B ist doch immer [A,B]=0 
Was ist denn mit und . A und B vertauschen, B hat einen doppelten Eigenwert.
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| 14.03.2021, 21:40 | Markooo | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Simultane Eigenvektoren Hallo URL, stimmt, vielen Dank für deine großartige Hilfe! Liebe Grüße Marko |
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