Alternierende Summe

14.03.2021, 13:08	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternierende Summe Meine Frage: Hallo Leute, wie beweist man: \sum\limits_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1} \frac{1}{k}= \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k+n} Meine Ideen: Ich würde es jetzt mit Induktion versuchen, komme aber irgendwie nicht weiter.
14.03.2021, 13:25	HaddiV	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alternierende Summe Nur zur besseren Lesbarkeit: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1} \frac{1}{k}= \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k+n} \end{eqnarray}$
14.03.2021, 13:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alternierende Summe Induktiv geht das schon, woran hängst du?
14.03.2021, 15:56	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Alternierende Summe Nach Induktionsschritt und Termumformungen lande ich bei: $\begin{eqnarray} \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} +\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \end{eqnarray}$ schön wäre $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k} \end{eqnarray}$ wo ist der fehler?
14.03.2021, 16:00	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Na zunächst würde man die Behauptung (genauer gesagt deren rechte Seite) so umschreiben, dass sie für den Induktionsschritt besser zugänglich ist: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k+1} \frac{1}{k}= \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k} \end{eqnarray}$ Und jetzt denk nochmal nach, was genau du vorhast.
14.03.2021, 16:18	HiBee123	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool Danke! Mit dem Ansatz läuft's
Anzeige

14.03.2021, 16:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis dahin kein Fehler: Indexverschiebung liefert $\begin{eqnarray} \sum_1^n\frac{1}{k+n}=\sum_0^{n-1}\frac{1}{k+1+n} \end{eqnarray}$ . Jetzt noch den Term für k=0 mit dem anderen verrechnen, fertig. Wird einfacher, wenn du 1/((2n+1)(2n+2)) gleich als Summe stehen lässt.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »