Eigenvektoren orthogonal zueinander

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Markooo Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektoren orthogonal zueinander
Meine Frage:
Für "normale (z.B. Selbstadjungierte) Abbildungen" weiß ich, dass diese eine ONB aus Eigenvektoren haben können.



Wenn wir aber jetzt von einer linearen Abbildung auf einem endlich dimensionalen Vektorraum ausgehen, welche i.A. NICHT normal sein soll, muss doch gelten:

1.)Innerhalb eines Eigenraums kann ich orthogonalisieren nach Gram Schmitt (geht immer), da die Vektoren in einem Eigenraum linear unabhängig zueinander sind?

2.)Wenn ich das für jeden Eigenraum mache, stehen die aus jeweils einem Eigenraum orthogonalisierten Vektoren zu den Vektoren aus einem anderen Eigenraum orthogonal zueinander? Also nicht nur für normale Abbildungen gilt diese Eigenschaft??

3.)Wenn die Summe der Dimensionen der Eigenräume gleich der Dimension n des Vektorraums entspricht, auf der die lineare Abbildung definiert ist, dann muss die Abbildung eine "Normale Abbildung" gewesen sein?

Vielen Dank im Voraus!

Meine Ideen:
keine Idee
URL Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren orthogonal zueinander
1.) richtig.
2.) falsch. Betrachte die lineare Abbildung, die durch und definiert ist.
3.) falsch. ist diagonalisierbar, vertauscht aber nicht mit seiner transponierten.
Markooo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektoren orthogonal zueinander
Hallo URL,

stimmt, da hast du Recht!

Vielen Dank!

Liebe Grüße

Marko
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