Entwicklung der Fourier-Reihe für eine Funktion mit Offset

14.03.2021, 21:10

r=r+0;

Entwicklung der Fourier-Reihe für eine Funktion mit Offset

Guten Abend,

für die sich im Anhang befindliche Funktion gilt es die Fourier-Reihe zu entwickeln.

Da es sich um eine ungerade Funktion handelt, sind $\begin{eqnarray*} a_{n},a_{0} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Es müsste also nur $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

Da es sich, wie bereits erwähnt, um eine Funktion mit Offset handelt, habe ich Schwierigkeiten damit eine Funktionsgleichung für $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ aufzustellen.

Ich würde hierzu einfach gedanklich die X-Achse nach oben verschieben, um den Offset auszugleichen.

Somit würde ich für $\begin{eqnarray*} b_{n} = \frac{1}{\pi } \int_{0}^{2\pi } \! f(t) \cdot \sin(nt) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{n} = \frac{2}{\pi } \int_{0}^{\pi } \! 1 \cdot \sin(nt) \, dt =\frac{2}{\pi } \int_{0}^{\pi } \! \sin(nt) \, dt \end{eqnarray*}$ erhalten.

Passt das so oder mache ich gerade einen großen Fehler ?

Herzlichen Dank

und

Viele Grüße

14.03.2021, 22:48

URL

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RE: Entwicklung der Fourier-Reihe für eine Funktion mit Offset
f ist nicht ungerade, f-3/2 allerdings schon. Durch dieses Verschieben änderst du den Gleichanteil der Funktion, das musst du hinterher kompensieren.
Ander ausgedrückt: Die Berechnung der Fourierreihe ist linear, also (in leicht verständlicher Schreibweise) FR(f+c)=FR(f)+FR(c). Eine konstante Funktion ist ihre eigene Fourierreihe, also FR(c)=c.
Also FR(f)=FR(f+c)-c.

15.03.2021, 10:07

JustDance

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RE: Entwicklung der Fourier-Reihe für eine Funktion mit Offset

Zitat:

Original von URL
f ist nicht ungerade, f-3/2 allerdings schon. Durch dieses Verschieben änderst du den Gleichanteil der Funktion, das musst du hinterher kompensieren.
Ander ausgedrückt: Die Berechnung der Fourierreihe ist linear, also (in leicht verständlicher Schreibweise) FR(f+c)=FR(f)+FR(c). Eine konstante Funktion ist ihre eigene Fourierreihe, also FR(c)=c.
Also FR(f)=FR(f+c)-c.

Ganz so verstehe ich das nicht, was du da erklärst.
meine Lösung zu dem Problem wäre, dass man von 0 bis pi und von pi bis 2pi integriert und schlussendlich dann a0, an und bn aufstellt und in die Summenformel als Koeffizienten einsetzt.
Meinung dazu?

15.03.2021, 10:25

Steffen Bühler

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RE: Entwicklung der Fourier-Reihe für eine Funktion mit Offset
Dieser Ansatz geht natürlich ebenfalls, ist aber mehr Rechnerei für dasselbe Ergebnis. Einfacher ist es eben, zu erkennen, dass durch Subtraktion von 1,5 die Funktion ungerade wird. Dann kann man in Ruhe die Sinuskoeffizienten berechnen und zur Fourierreihe die abgezogenen 1,5 wieder als a0/2 draufaddieren.

Viele Grüße
Steffen

15.03.2021, 11:28

JustDance

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RE: Entwicklung der Fourier-Reihe für eine Funktion mit Offset

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Dieser Ansatz geht natürlich ebenfalls, ist aber mehr Rechnerei für dasselbe Ergebnis. Einfacher ist es eben, zu erkennen, dass durch Subtraktion von 1,5 die Funktion ungerade wird. Dann kann man in Ruhe die Sinuskoeffizienten berechnen und zur Fourierreihe die abgezogenen 1,5 wieder als a0/2 draufaddieren.

Viele Grüße
Steffen

Ok das ist super, aber wenn ich sie dann ungerade, also punktsymmetrisch mache,
dann gilt wieder an = 0
und durch a0/2 = 1,5 die Kompensation?
also definiere ich nur und berechne nur noch b_n

15.03.2021, 11:50

Steffen Bühler

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RE: Entwicklung der Fourier-Reihe für eine Funktion mit Offset
So ist es.

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