Ziehen von Socken

16.03.2021, 07:08

damian89

Ziehen von Socken

Eine Schublade enthält weiße und schwarze Socken. Werden zwei Socken blind gezogen dann sind beide mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% weiß.

Frage: Wieviele Socken sind mindestens in der Schublade, wenn die Anzahl der schwarzen Socken gerade ist?

Kann mir jemand eine Hilfestellung geben wie ich die Aufgabe lösen kann. Auf den ersten Blick hört sich die Aufgabe einfach an aber ich komme da auf keinen guten Lösungsweg.

16.03.2021, 08:43

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Kombinatorik
Sei $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ die Zahl der weißen Socken und $\begin{eqnarray*} 2s \end{eqnarray*}$ die Zahl der schwarzen Socken und $\begin{eqnarray*} n=w+2s \end{eqnarray*}$ die Gesamtzahl der Socken. Dann ist die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen von 2 weißen Socken

$\begin{eqnarray*} p(w,s)=\frac {w(w-1)}{n(n-1)}=\frac {w(w-1)}{(w+2s)(w+2s-1)} \end{eqnarray*}$

Bei festem $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} p(w,s) \end{eqnarray*}$ eine mit $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ streng monoton fallende Funktion und bei festem $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ eine mit $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ streng monoton steigende Funktion. Man könnte nun versuchen, aus der Formel abzuleiten, wie groß $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mindestens sein muss, damit man $\begin{eqnarray*} p(w,s)=1/2 \end{eqnarray*}$ bekommt. Man kann aber auch einfach für $\begin{eqnarray*} s=1,2,3, \ldots \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} p(w,s) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w=2,3,4, \ldots \end{eqnarray*}$ ausrechnen bis jeweils $\begin{eqnarray*} p(w,s)\ge 1/2 \end{eqnarray*}$ wird und hoffen, dass man dabei auf $\begin{eqnarray*} p(w,s)=1/2 \end{eqnarray*}$ kommt.

16.03.2021, 16:35

damian89

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort.

Also ich habe deine Formel nun verwendet und für w Zwei Eingesetzt da 4 Socken mindestens in der Schublade sein müssen.

Ich erhalte dann:

$\begin{eqnarray*} p(w, s)=\frac{2(2-1)}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$

Für n habe ich probiert einmal 2 und einmal 4 einzusetzen, da n ja gerade sein muss;

Für 4 erhalte ich 1/6 und für 2 erhalte ich 1. Aber leider komme ich da nicht auf 1/2. Kann es sein dass es daher keine Lösung gibt?

16.03.2021, 17:01

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von damian89
dann sind beide mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% weiß.

Angesichts dessen was du meinst wäre die Formulierung

Zitat:

dann sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 50% beide weiß.

unmissverständlicher gewesen. Für einen Moment beim Durchlesen war ich bei der anderen Interpretation...

Sei $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ die Gesamtanzahl der Socken, davon $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ weiße. Dann muss gelten $\begin{eqnarray*} n(n-1) = 2w(w-1) \end{eqnarray*}$ bzw. dann

$\begin{eqnarray*} 4n^2-4n+1 = 2(4w^2-4w+1)-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^2 - 2v^2 = -1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u=2n-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v=2w-1 \end{eqnarray*}$ .

Das ist eine Pellsche Gleichung - mehr Zahlentheorie als Stochastik - mit den Lösungen $\begin{eqnarray*} u\pm \sqrt{2}v = \left(1\pm \sqrt{2}\right)^{2k+1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Gehen wir mal die ersten paar $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ durch, bis wir was passendes für unser Problem hier finden:

$\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} u=1,v=1 \end{eqnarray*}$ korrespondierend $\begin{eqnarray*} n=1,w=1 \end{eqnarray*}$ , keine Lösung unseres Problems

$\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} u=7,v=5 \end{eqnarray*}$ korrespondierend $\begin{eqnarray*} n=4,w=3 \end{eqnarray*}$ , macht nur 4-3=1 schwarze Socke (ungerade)

$\begin{eqnarray*} k=2 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} u=41,v=29 \end{eqnarray*}$ korrespondierend $\begin{eqnarray*} n=21,w=15 \end{eqnarray*}$ , macht genau 21-15=6 schwarze Socken, das ist es.

Also 15 weiße und 6 schwarze Socken.

P.S.: Als Schulaufgabe kann man es auch schlicht mit systematischen Probieren lösen, wie von Huggy skizziert. Der von mir skizzierte Weg ist eher für diejenigen, die an der Struktur aller Lösungen der Diophantischen Gleichung $\begin{eqnarray*} n(n-1)=2w(w-1) \end{eqnarray*}$ interessiert sind.

16.03.2021, 17:25

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von damian89
Für 4 erhalte ich 1/6 und für 2 erhalte ich 1. Aber leider komme ich da nicht auf 1/2.

Du musst schon etwas mehr rechnen. Wenn man die Kenntnis der Pellschen Gleichung mal nicht voraussetzt, kommt man "zu Fuß" so auf eine Lösung:

Man beginnt mit $\begin{eqnarray*} s=1 \end{eqnarray*}$ und erhöht sukzessive $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ . Man bekommt

$\begin{eqnarray*} p(5,1) =\frac {10}{21}< \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(6,1) =\frac {15}{28}> \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass es mit $\begin{eqnarray*} s = 1 \end{eqnarray*}$ keine Lösung gibt. Nun ist

$\begin{eqnarray*} p(6,2) =\frac {1}{3}< \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Wieder erhöht man sukzessive $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ und bekommt

$\begin{eqnarray*} p(9,2)= \frac {6}{13}< \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(10,2)= \frac {45}{91}> \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Es folgt, dass es auch mit $\begin{eqnarray*} s=2 \end{eqnarray*}$ keine Lösung gibt. Jetzt betrachtet man $\begin{eqnarray*} s=3 \end{eqnarray*}$ und kommt dabei auf die schon von HAL angegeben Lösung.

Eine andere Möglichkeit ist, $\begin{eqnarray*} p(w,s)=1/2 \end{eqnarray*}$ als quadratische Gleichung zu betrachten und sie nach $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ aufzulösen.

$\begin{eqnarray*} w=\frac 1 2 (1+4s \pm \sqrt {1+32 s^2}) \end{eqnarray*}$

Damit $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ rational ist, muss $\begin{eqnarray*} 1+32s^2 \end{eqnarray*}$ eine Quadratzahl sein. Kurzes probieren gibt ein passendes $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ .

16.03.2021, 19:34

damian89

Auf diesen Beitrag antworten »

Also die Pellschen Gleichung kenne ich nicht. Ich finde die Aufgabe hat es echt in sich. Als ich die Aufgabe durchgelesen habe, dachte ich die ist ja einfach... verwirrt

$\begin{eqnarray*} w=\frac{1}{2}\left(1+4 s \pm \sqrt{1+32 s^{2}}\right) \end{eqnarray*}$

Durch probieren habe ich herausgefunden dass man mit s=3 eine Quadratwurzel erhält

Eingesetzt s=3 in die Gleichung erhält man:

$\begin{eqnarray*} w=\frac{1}{2}\left(1+4 *3 \pm \sqrt{1+32 *3^{2}}\right)=15 \end{eqnarray*}$

Ich habe dann einfach nun w=15 in diese Gleichung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} 0.5=\frac{(15(15-1))}{n(n-1)} \end{eqnarray*}$

Für die Anzahl N erhalte ich: n=21

Und für die Anzahl der schwarzen Socken erhalte ich dann: s=21-15=6

Ich bedanke mich an euch beiden für die Hilfe

16.03.2021, 19:49

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von damian89
Und für die Anzahl der schwarzen Socken erhalte ich dann: s=21-15=6

Die Anzahl der schwarzen Socken war doch von mir als $\begin{eqnarray*} 2s \end{eqnarray*}$ definiert worden. Mit $\begin{eqnarray*} s=3 \end{eqnarray*}$ ergibt das 6 schwarze Socken. $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ wird dafür nicht benötigt.

Jetzt hast du eine Lösung mit $\begin{eqnarray*} n=21 \end{eqnarray*}$ gefunden. Du musst aber noch mittels der Monotonieeigenschaften zeigen, dass dies die kleinste Lösung ist.

Neue Frage »

Antworten »

Ziehen von Socken

Verwandte Themen