Funktion - Grenzwert bestimmen

16.03.2021, 10:15

Leni__

Funktion - Grenzwert bestimmen

Meine Frage:
Ich habe folgende Funktion gegeben: f(x) = (x^2-3x+3)e^(x+5).
Nun soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } f(x) = 0 \end{eqnarray*}$
Als Hinweis steht da, dass ich hierzu $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } \frac{x^2-3x+3}{e^{5-x} } \end{eqnarray*}$ betrachten soll.

Meine Ideen:
Irgendwie verstehe ich nicht, wie mich der Hinweis jetzt weiterbringt. Freue mich über jegliche Hilfe.

16.03.2021, 10:33

Ulrich Ruhnau

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RE: Funktion - Grenzwert bestimmen

Zitat:

verbessertes Original von Leni__
Meine Frage:
Ich habe folgende Funktion gegeben: $\begin{eqnarray*} f(x) = (x^2-3x+3)e^{x+5} \end{eqnarray*}$ .

Diese Funktion geht für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ .

16.03.2021, 10:38

klarsoweit

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RE: Funktion - Grenzwert bestimmen
Soll nicht x gegen minus unendlich laufen?

Ggf. ist statt $\begin{eqnarray*} e^{x+5} \end{eqnarray*}$ eher auch $\begin{eqnarray*} e^{x-5} \end{eqnarray*}$ gemeint. verwirrt

16.03.2021, 10:49

Leni__

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RE: Funktion - Grenzwert bestimmen
Die Funktion soll für x gegen - unendlich laufen.
Ich schreibe die Funktion nochmal hin, falls mir doch ein Schreibfehler unterlaufen sein sollte.
f(x) = (x^2-3x+3)e^(x+5)

16.03.2021, 11:51

Ulrich Ruhnau

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RE: Funktion - Grenzwert bestimmen
Zugegeben, ich habe das Minuszeichen übersehen. Aber vielleicht hilft das hier weiter:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } f(x)= \lim_{x \to -\infty } (x^2-3x+3)e^{x+5}=\lim_{x \to \infty } f(-x)= \lim_{x \to \infty } (x^2+3x+3)e^{5-x} \end{eqnarray*}$

16.03.2021, 11:51

G160321

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RE: Funktion - Grenzwert bestimmen
$\begin{eqnarray*} 1/e^{5-x} = e^x/e^5 \end{eqnarray*}$
Sowohl der Klammerterm als auch e^x gegen gegen -oo für x gg. +oo

Für x gg. -oo ist der Grenzwert 0, weil e^x schneller wächst als der Klammerterm.

16.03.2021, 13:48

HaddiV

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RE: Funktion - Grenzwert bestimmen
Deine Funktion lautet also:
$\begin{eqnarray*} f(x) = (x^2-3x+3)e^{x+5} \end{eqnarray*}$

Und untersuchen sollst du den Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } f(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Auf den ersten Blick sind die Grenzwerte widersprüchlich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } f(x) =\underbrace{(x^2-3x+3)}_{\substack{\to \infty}}\underbrace{e^{x+5}}_{\substack{\to 0}} \end{eqnarray*}$

Also hast du $\begin{eqnarray*} \infty \cdot 0 \end{eqnarray*}$ dastehen, was alles mögliche ergeben kann. Die Frage ist hier, welcher Ausdruck denn überwiegt.

Anhand des Hinweises $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } \frac{x^2-3x+3}{e^{5-x} } \end{eqnarray*}$ würde ich den Satz von L'Hospital anwenden. Dieser arbeitet allerdings mit Ausdrücken wie $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$
Also müssen wir deine Funktion auf die Form $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ bringen; dazu schreibt man die e-Funktion um:
$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{x+5} = \frac{1}{e^{-(x+5)}} = \frac{1}{e^{-x-5}} \end{eqnarray*}$

(Ich hab hier im Exponenten die (-5) stehen. Das ist aber nicht weiter schlimm, weil das ja eine Konstante ist, die sich im Grenzwert ja nicht ändert. Wichtig ist das $\begin{eqnarray*} {e^{-x}} \end{eqnarray*}$ . )

Jetzt kommt die e-Funktion also in den Nenner (wie im Hinweis), und du kannst L'Hospital anwenden, da sowohl im Zähler als auch im Nenner im Grenzwert $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ angenommen wird:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } \frac{x^2-3x+3}{e^{-5-x} } \end{eqnarray*}$

(ich hab mein (-5) mal mitgeschleppt)

Nach diesem "Herrichten" kommt also L'Hospital, der sagt: wenn man einen Bruch der Form $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ hat, erhält man den Grenzwert des Bruches, indem man die Ableitung des Zählers als neuen Zähler und die Ableitung des Nenners als neuen Nenner nimmt. Dh vergiss hier mal kurz die Quotientenregel und mach einfach die Ableitungen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } \frac{2x-3}{(-1)e^{-5-x} } \end{eqnarray*}$ .

Weil im Prinzip (bis auf die Vorzeichen) nochmal $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ da steht, kommt dasselbe nochmal:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } \frac{2}{(+1)e^{-5-x} } \end{eqnarray*}$

Und jetzt ist der Zähler konstant, während der Nenner gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ geht und somit den ganzen Bruch gegen 0 gehen läßt.

Fazit: die e-Funktion strebt stärker gegen 0 als irgendeine Potenzfunktion gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ strebt.

Für noch genauere (Vorzeichen-)Betrachtungen, oder falls du den Graphen skizzieren sollst: weil (mein Vorzeichen in dieser schnellen Rechnung, gerne überprüfen) das Vorzeichen des Bruchs positiv ist, schmiegt sich der Graph der Funktion für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } \end{eqnarray*}$ von oben her an die x-Achse an.

17.03.2021, 11:49

gast_free

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RE: Funktion - Grenzwert bestimmen

Zitat:

Original von Leni__
Meine Frage:
Ich habe folgende Funktion gegeben: f(x) = (x^2-3x+3)e^(x+5).
Nun soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } f(x) = 0 \end{eqnarray*}$
Als Hinweis steht da, dass ich hierzu $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } \frac{x^2-3x+3}{e^{5-x} } \end{eqnarray*}$ betrachten soll.

Meine Ideen:
Irgendwie verstehe ich nicht, wie mich der Hinweis jetzt weiterbringt. Freue mich über jegliche Hilfe.

$\begin{eqnarray*} f(x) = (x^2-3x+3)e^{(x+5)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty } (x^2-3x+3)e^{(x+5)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (x^2+3x+3)e^{(5-x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (x^2+3x+3)\frac{e^5}{e^x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (x^2\cdot \frac{e^5}{e^x}) + \lim_{x \to \infty } (3x\cdot \frac{e^5}{e^x})+ \lim_{x \to \infty } (3\cdot \frac{e^5}{e^x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^5\cdot \lim_{x \to \infty } (\frac {x^2}{e^x}) + 3\cdot e^5\cdot \lim_{x \to \infty } (\frac{x}{e^x})+ 3\cdot e^5\cdot \lim_{x \to \infty } ( \frac{1}{e^x}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^5\cdot \lim_{x \to \infty } (\frac {x^2}{e^x}) + 3\cdot e^5\cdot \lim_{x \to \infty } (\frac{x}{e^x})+ 3\cdot e^5\cdot \lim_{x \to \infty } ( \frac{1}{e^x}) \end{eqnarray*}$ =0

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