Modellierung einer Fourier-Reihe

16.03.2021, 11:44	Duplex	Auf diesen Beitrag antworten »
Modellierung einer Fourier-Reihe Hallo, ich möchte gern folgende Fourier-Reihe erstellen: $\begin{eqnarray} f(\phi)=\begin{pmatrix} -A\cdot\cos(2\phi)+B, wenn ~\phi=0...\pi/2 \\ -C\cdot\cos(2\phi)+D, wenn ~\phi=\pi/2...\pi \\ -E\cdot\cos(2\phi)+F, wenn ~\phi=\pi...3/2\pi \\ -G\cdot\cos(2\phi)+H, wenn ~\phi=3/2\pi...2\pi \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \left(A,~B,~C,~D,~E,~F,~G,~H\right)\in \mathbb R \end{eqnarray}$ und Periodenlänge $\begin{eqnarray} T=2\pi \end{eqnarray}$ Leider ist mein Ergebnis nicht befriedigend, was vermutlich an der Berechnung der Fourier-Koeffizienten liegt. Um mein Problem zu verdeutlichen, möchte ich im Folgenden nur den Koeffizienten ak für den Teilbereich $\begin{eqnarray} \Phi = 0... \pi /2 \end{eqnarray}$ betrachten und B = 0 setzen. $\begin{eqnarray} a_{k} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \! -A\cdot\cos(2\phi)\cdot\cos(k\cdot\phi) \, d\phi \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ ohne 0 Da ich so ein Integral das letzte Mal vor über 20 Jahren per Hand berechnet habe, habe ich das meinem Taschenrechner überlassen. für k = 1 ergibt sich $\begin{eqnarray} -A/3 \end{eqnarray}$ für k = 2 ergibt sich $\begin{eqnarray} -A \cdot \pi/4 \end{eqnarray}$ Mit diesen Ergebnissen würde die Reihe bei $\begin{eqnarray} \phi = 0 \end{eqnarray}$ den erwarteten Wert erzielen. Jetzt zu meinem Problem. Da ich die Reihe gern im Excel abbilden möchte, benötige ich die Lösung des unbestimmten Integrals. Mein Taschenrechner liefert mir hier folgende Lösung. $\begin{eqnarray} a_{k} = \frac{1}{\pi} \left[- \frac{\sin(k\cdot\phi+ 2\phi)}{2(k+ 2)}-\frac{\sin(k\cdot\phi- 2\phi)}{2(k- 2)} \right]_{0}^{\pi/2} \end{eqnarray}$ für k = 1 komme ich hier ebenfals auf $\begin{eqnarray} -A/3 \end{eqnarray}$ , womit die Lösung des Integrals nicht komplett falsch sein kann. für k = 2 komme ich aber nicht auf $\begin{eqnarray} -A \cdot \pi/4 \end{eqnarray}$ , sondern an meine Grenzen. Könnt ihr mir hier helfen? Irgendwie wird der Sinus hier immer Null, wo liegt der Fehler?
16.03.2021, 12:28	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modellierung einer Fourier-Reihe Hier darf man nicht direkt einsetzen, sondern muss mit Grenzwerten arbeiten. Beispielsweise ist $\begin{eqnarray} \frac { \sin x}x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ nicht definiert, aber $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac { \sin x}x = 1 \end{eqnarray}$ . Viele Grüße Steffen
16.03.2021, 13:22	Duplex	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modellierung einer Fourier-Reihe Unglaublich, der Grenzwert von $\begin{eqnarray} \lim_{k \to 2} \frac{\sin(k\cdot\phi- 2\phi)}{2(k- 2)} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \phi = \pi/2 \end{eqnarray}$ ist tatsächlich $\begin{eqnarray} - \pi/4 \end{eqnarray}$ . Das erschien mir so unwahrscheinlich, dass ich es gar nicht erst versucht habe. Vielen Dank Steffen!
16.03.2021, 18:12	Duplex	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modellierung einer Fourier-Reihe Jetzt hab ich doch noch eine Frage zu dem Thema. Für den Fourier-Koeffizienten bk habe ich ein ähnliches Integral mit folgender Lösung: $\begin{eqnarray} b_{k} = \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\cos(k\cdot\phi+ 2\phi)}{2(k+ 2)}\cdot A+\frac{\cos(k\cdot\phi- 2\phi)}{2(k- 2)}\cdot A \right]_{0}^{\pi/2} \end{eqnarray}$ Welchen Lösungsansatz kann man hier für den Grenzwert bei k=2 verwenden? Oder gibt es für k=2 keine Lösung, da: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{x} = undefiniert \end{eqnarray}$
16.03.2021, 20:18	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Modellierung einer Fourier-Reihe Für diesen Sonderfall setzt man k=2 vorm Integrieren und nimmt die Additionstheoreme zur Hilfe.

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