Existenz holomorpher Stammfunktion

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Kraupunk Auf diesen Beitrag antworten »
Existenz holomorpher Stammfunktion
Meine Frage:
Gegeben sei die Funktion mit Definitionsbereich . Berechnen Sie den Wert des Integrals mit . Entscheiden Sie mit Begründung, ob eine holomorphe Stammfunktion auf besitzt.

Meine Ideen:
Ich habe eine Musterlösung, wo nun Residuen berechnet werden und mit dem Residuensatz letztlich geschlussfolgert wird, dass keine Stammfunktion existiert, da das Integral ungleich Null ist.
Ich frage mich aber: Die Nullstellen des Nenners liegen doch gar nicht im Definitionsbereich . Demzufolge wäre f doch auf seinem Definitionsbereich holomorph, und nach dem Cauchy-Integralsatz ist das Integral Null und es existiert sehr wohl eine Stammfunktion?!

Wäre toll, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Kraupunk
Gegeben sei die Funktion mit Definitionsbereich .

Bekannter Bug im Board: Zwischen : und D muss man ein Leerzeichen einfügen, sonst wird das (auch innerhalb der Math-Umgebung) als Smilie interpretiert - konntest du nicht wissen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Existenz holomorpher Stammfunktion
Zitat:
Original von Kraupunk
Ich habe eine Musterlösung, wo nun Residuen berechnet werden und mit dem Residuensatz letztlich geschlussfolgert wird, dass keine Stammfunktion existiert, da das Integral ungleich Null ist.
Ich frage mich aber: Die Nullstellen des Nenners liegen doch gar nicht im Definitionsbereich . Demzufolge wäre f doch auf seinem Definitionsbereich holomorph, und nach dem Cauchy-Integralsatz ist das Integral Null und es existiert sehr wohl eine Stammfunktion?!

Der Wert des Kurvenintegrals hängt doch nicht von dem willkürlich gewählten Definitionsgebiet ab. Er hängt nur von den Werten der Funktion auf der Kurve ab. Also kann man zu seiner Berechnung als Definitionsbereich auch ganz mit Ausnahme der Polstellen wählen und dann darf man das Kurvenintegral mit dem Residuensatz berechnen.

Möchte man, dass die Funktion eine Stammfunktion auf dem Definitionsbereich besitzt, muss man den Definitionsbereich so einschränken, dass im Inneren geschlossener Kurven auf dem Definitionsbereich keine der Polstellen liegen kann. Man könnte z. B. aus noch zusätzlich den in diesem Bereich liegenden Teil der reellen Achse herausnehmen. Das ist ähnlich wie bei der Definition von Logarithmusfunktionen als Stammfunktionen von .
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