DGL 1.Ordnung mit Sinus

18.03.2021, 18:14

Mathman91

DGL 1.Ordnung mit Sinus

Hallo wiedermal,

ich muss euch gleich wieder was Fragen.

Folgendes Beispiel: $\begin{eqnarray*} y'*sin(y)=-x \end{eqnarray*}$

Bis hier hin bin ich gekommen:

$\begin{eqnarray*} -cos(y) = -\frac{x^{2}}{2}+C \end{eqnarray*}$

Nun muss ich den arccos anwenden, damit ich nach y umstellen kann.
Hier muss ich erlich sagen, ich weiß jetzt gerade nicht was mit dem minus ist vor dem cosinus verwirrt

Nehme ich jetzt das minus mit, also: $\begin{eqnarray*} y=-arccos(-\frac{x^{2}}{2}+C) \end{eqnarray*}$ ?

??

Schöne Grüße

18.03.2021, 19:43

HAL 9000

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Zunächst mal ist $\begin{eqnarray*} \cos(y) = \frac{x^2}{2}-C \end{eqnarray*}$ .

Nun ist aber $\begin{eqnarray*} -1\leq \cos(y)\leq 1 \end{eqnarray*}$ , d.h., das ganze macht (in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ) nur für bestimmte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Intervalle überhaupt Sinn!

Und auch dort ist die Lösung nicht so eindeutig, wie du das naiv mit der bloßen arccos-Anwendung vielleicht denkst: So sind neben $\begin{eqnarray*} y = \arccos\left(\frac{x^2}{2}-C\right) \end{eqnarray*}$ auch die Funktionen $\begin{eqnarray*} y = 2\pi k +\arccos\left(\frac{x^2}{2}-C\right) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y = 2\pi k - \arccos\left(\frac{x^2}{2}-C\right) \end{eqnarray*}$ Lösungen... Kurzum, alles nicht so einfach:

Steckst vielleicht ein AWP dahinter, d.h., ein gegebener Anfangswert?

19.03.2021, 07:42

Mathman91

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Einen Anfangswert gibt es nicht.

Die Lösung laut Lösungsbuch lautet:

$\begin{eqnarray*} y = \arccos\left(\frac{x^2}{2}+C\right) \end{eqnarray*}$

19.03.2021, 07:50

klarsoweit

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Das entspricht im wesentlichen der Lösung von HAL 9000 für k=0. Ob eine Konstante addiert oder subtrahiert wird, ist einigermaßen schnuppe. smile

19.03.2021, 08:00

Mathman91

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Mir ist noch immer nicht klar, wie ich mit dem Minus vor den arccos und vor dem x umgehen muss.
Den arccos anwenden an sich kann ich auch, nur was muss ich mit dem Minus machen?

19.03.2021, 08:22

klarsoweit

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Bitte auch dies beachten:

Zitat:

Original von HAL 9000
Zunächst mal ist $\begin{eqnarray*} \cos(y) = \frac{x^2}{2}-C \end{eqnarray*}$ .

Das ist durchaus auch als Korrektur deiner Rechnung zu verstehen.

19.03.2021, 09:51

Mathman91

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Ja schon, aber das beantwortet meine Frage nicht.
Was mache ich mit dem Minus beim cosinus und beim x?
Wird hier wie ich bereits gesagt habe, mit -1 multipliziert?
Es würde mir sehr helfen, wenn ich das als Beispielrechnung sehen würde.
Ich kann das sonst nicht nachvollziehen.

19.03.2021, 11:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathman91
Die Lösung laut Lösungsbuch lautet:

$\begin{eqnarray*} y = \arccos\left(\frac{x^2}{2}+C\right) \end{eqnarray*}$

Nein, das ist nur eine Lösung. Das hatte ch oben ja ausgeführt, und Gründe dafür sind Periodizität und Symmetrie der Kosinusfunktion.

Zitat:

Original von Mathman91
Was mache ich mit dem Minus beim cosinus und beim x?

Es muss gemäß der Rechenregeln korrekt verarbeitet werden. Deine ursprüngliche Rechnung, die irgendwie auf die Annahme

$\begin{eqnarray*} \arccos(-t) \stackrel{???}{=} -\arccos(t) \end{eqnarray*}$

hinausläuft, ist jedenfalls durch und durch falsch - schau dir mal die Graphen von $\begin{eqnarray*} \cos \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \arccos \end{eqnarray*}$ an!

19.03.2021, 11:44

klarsoweit

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@Mathman91: es wäre hilfreich, wenn du mal genau spezifizieren könntest, welche Gleichung du noch verstehst und welche nicht. Dann bräuchte man nicht so rumeiern.

19.03.2021, 11:57

HAL 9000

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Und betrachten wir dann doch mal ein konkretes AWP, etwa $\begin{eqnarray*} y'\cdot \sin(y) = -x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(0)= \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} \sin(y(0))=-1\neq 0 \end{eqnarray*}$ sowie dem stetig differenzierbaren Sinus sollte damit zumindest in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Lösung dieser DGL existieren.

Wie sieht denn basierend auf

Zitat:

Original von Mathman91
Die Lösung laut Lösungsbuch lautet:

$\begin{eqnarray*} y = \arccos\left(\frac{x^2}{2}+C\right) \end{eqnarray*}$

deine Lösung des AWP konkret aus?

19.03.2021, 13:34

Mathman91

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Das ist die Angabe, mehr gibt es nicht:

$\begin{eqnarray*} y'*sin(y)=-x \end{eqnarray*}$

Ich bin bis hier hin gekommen:

$\begin{eqnarray*} -cos(y) = -\frac{x^{2}}{2}+C \end{eqnarray*}$

Ab hier weiß ich nicht mehr weiter.

Ich möchte einfach nur Wissen, wie ich jetzt weiter rechnen muss um auf die Lösung:

$\begin{eqnarray*} y = \arccos\left(\frac{x^2}{2}+C\right) \end{eqnarray*}$

zu kommen.

19.03.2021, 13:55

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mathman91
Ich bin bis hier hin gekommen:

$\begin{eqnarray*} -cos(y) = -\frac{x^{2}}{2}+C \end{eqnarray*}$

Ab hier weiß ich nicht mehr weiter.

Ich möchte einfach nur Wissen, wie ich jetzt weiter rechnen muss

Also das wurde eigentlich schon mehrfach erwähnt: multipliziere mit -1. Das ergibt:

$\begin{eqnarray*} cos(y) = \frac{x^2}{2} - C \end{eqnarray*}$

Jetzt den arccos anwenden (wir ignorieren mal das Thema mit der Periodizität):

$\begin{eqnarray*} y = \arccos \left( \frac{x^2}{2} - C \right) \end{eqnarray*}$

Jetzt setzen wir noch C = -C_2:

$\begin{eqnarray*} y = \arccos \left( \frac{x^2}{2} + C_2 \right) \end{eqnarray*}$

Et voilà. Augenzwinkern

19.03.2021, 13:57

gast_free

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RE: DGL 1.Ordnung mit Sinus
$\begin{eqnarray*} y'\cdot sin(y)=-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} sin(y)\cdot dy=-x\cdot dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int sin(y)\cdot dy=-\int x\cdot dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -cos(y)=-\frac{x^2}{2}+C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=arccos(\frac{x^2}{2}+C) \end{eqnarray*}$

Definitionsbereich:
$\begin{eqnarray*} -1<=\frac{x^2}{2}+C<=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+2\cdot (C+1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+2\cdot (C-1)=0 \end{eqnarray*}$

Reell sonst Imaginär:
$\begin{eqnarray*} x_{1,2}<=\sqrt{-2\cdot (C+1)}; C<=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{3,4}<=\sqrt{-2\cdot (C-1)}; C>=1 \end{eqnarray*}$

Lösungscheck:
$\begin{eqnarray*} y'=-\frac{x}{\sqrt{1-(\frac{x^2}{2}+C)^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{x\cdot sin(arccos(\frac{x^2}{2}+C))}{\sqrt{1-(\frac{x^2}{2}+C)^2}}=-x \end{eqnarray*}$

Q.E.D.

21.03.2021, 14:28

Mathman91

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Danke für die Hilfe.

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