Sinusfunktionen (Berechnung EP,WP)

19.03.2021, 16:26	Mathenoob125	Auf diesen Beitrag antworten »
Sinusfunktionen (Berechnung EP,WP) Meine Frage: Hallo, Ich soll zu der Funktion f(x)=1,8sin(1,1x-2)-5 die Extrempunkte und die Wendepunkte ausrechnen und am Ende skizzieren. Meine Ideen: Ich habe die erste Ableitung gerechnet: f´(x)= 1,98*cos(1,1x-2) Aber ich weiß nicht ob das richtig ist und wie ich dann die Extrempunkte und Wendepunkte ausrechnen soll weiß ich leider auch nicht.
19.03.2021, 16:50	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie heißt denn die Funktion? $\begin{align} f(x) = 1{,}8 \, \sin \left( 1{,}1 \, x - 2 \right) - 5 \end{align}$ Stimmt das so? Falls ja, dann wurde der Graph der gewöhnlichen Sinusfunktion nur Streckungen und Verschiebungen unterworfen. Als Letztes würde ich hier mit Differentialrechnung herangehen. Beispiel Hochpunkte Die gewöhnliche Sinusfunktion hat ihre Hochpunkte an den Stellen $\begin{align} \frac{\pi}{2} + 2 k \pi \end{align}$ mit $\begin{align} k \in \mathbb{Z} \end{align}$ . Zu lösen ist hier also die Gleichung $\begin{align} 1{,}1x - 2 = \frac{\pi}{2} + 2 k \pi \end{align}$ So erhältst du die x-Werte der Hochpunkte (es geht noch ein, daß der Vorfaktor $\begin{align} 1{,}8>0 \end{align}$ ist, so daß Hoch- und Tiefpunkte ihre Rollen nicht tauschen). Und da die Sinusfunktion höchstens den Wert 1 annimmt, ist $\begin{align} 1{,}8 \cdot 1 - 5 \end{align}$ der y-Wert der Hochpunkte.
19.03.2021, 18:11	carlosrein134	Auf diesen Beitrag antworten »
Sinusfunktionen (Berechnung WP) Meine Frage: Hallo, Ich soll zur Funktion f(x)=1,8sin(1,1x-2)-5 die Extrempunkte und Wendepunkte berechnen. Meine Ideen: Die erste Ableitung ist f´(x)=1,98cos(1,1x-2). Bei den Extrempunkten habe ich raus: H(3,25/-3,2) und T(6,1/-6,8), aber ich weiß nicht wie ich jetzt dazu die Wendepunkte berechnen soll. Ich bin mir auch ein bisschen unsicher bei der Ableitung und den EP. Wäre nett wenn jemand schauen könnte, ob das so richtig ist und erklären könnte wie ich die WP berechne. EDIT(Helferlein): Carlosrhein und mathenoob sind dieselben Benutzer. Da auch die Fragestellung dieselbe ist, habe ich die beiden Threats zusammengefügt.
19.03.2021, 19:31	HaddiV	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, deine erste Ableitung ist richtig. Für Extrema suchen wir die Nullstellen davon. Der Cosinus ist Null - und jetzt widerspreche ich dir etwas - bei $\begin{eqnarray} \frac{(2k+1)\pi }{2} \end{eqnarray}$ . Er ist ja eine periodische Funktion. Dh dein Ansatz für die Nullstellen des Cosinus ist: $\begin{eqnarray} (1,1x-2) = \frac{(2k+1)\pi }{2} \end{eqnarray}$ mit k Element aus den ganzen Zahlen. Du hast praktisch die Nullstellen für k=0 und k=1 berechnet; und ich bekomme auch deine Werte raus. Damit du alle Werte für die Nullstellen angeben kannst, löst du einfach meine obere Formel nach x auf; das k behältst du einfach bei und kommst hoffentlich wie ich auf Extrema bei $\begin{eqnarray} x = \frac{(2k+1)\pi +4 }{2,2} \end{eqnarray}$ . Für das Fleißbienchen spaltest du das noch in eine Formel für die Hochpunkte bzw Tiefpunkte auf. Streng genommen mußt du auch noch begründen, dass zB bei x=3,25 ein Hochpunkt ist. Eine Möglichkeit dafür ist die zweite Ableitung. Dafür leitest du die Funktion, die du als erste Ableitung erhalten hast, noch einmal ab. Zu Extremas: du setzt die x-Koordinate deiner "Kandidaten" in diese zweite Ableitung ein und schaust bei dem Ergebnis NUR das Vorzeichen an. Ich schreibe mal eine Eselsbrücke dazu: posItiv -> MInimum -> Funktion lInksgekrümmt nEgAtiv -> MAximum ->Funktion rEchtsgekrümmt Für einen Wendepunkt - hier ändert die "Originalfunktion" ihr Krümmungsverhalten - muss die zweite Ableitung gleich Null sein (wenn eine Funktion von zB negativ nach positiv wechselt, muss sie ja an dieser Stelle Null sein, dh die x-Achse schneiden!). Du setzt deine Funktion, die du als zweite Ableitung erhalten hast, wieder gleich Null, und überlegst dir analog wie oben, wo diese Funktion (hier also dann der Sinus) ihre Nullstellen hat (wieder periodisch mit k). Alles klar, hoffe ich. edit: "k Element aus den ganzen Zahlen".

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