Determinante berechnen

19.03.2021, 21:03	martha.	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante berechnen Meine Frage: Ohne die Determinante zu ändern soll ich durch Spalten und Zeilen-umformungen die Determinante der Matrix berechnen: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Dadurch, dass ich die Determinante nicht ändern darf, weiß ich gerade nicht wie ich mir die Matrix durch Spalten und Zeilenumformung vereinfachen kann. Ich habe überlegt, ob ich das nicht einfach so machen soll, aber das dauert mir definitiv zu lange und ich hoffe, dass ihr mir nen Tipp geben könnt
19.03.2021, 21:36	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Thread Determinante berechnen sind ein paar Ideen zu solchen Matrizen versammelt. Insbesondere die letzte von URL ist (richtig durchdacht) sehr rechnungsarm.
19.03.2021, 23:33	martha.	Auf diesen Beitrag antworten »
ahaaaa ok, also darf man trotzdem zeilen voneinander abziehen? ich dachte das wäre wenn es nur zeilenunformungen sein soll, verboten.
20.03.2021, 09:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Determinante einer Matrix ist eine alternierende Multilinearform ihrer Zeilen und Spalten. Deshalb darf man beliebige Vielfache einer Zeile/Spalte zu einer anderen Zeile/Spalte addieren. Beweis: Additivität: $\begin{eqnarray} det(x_1,...,x_i,...,ax_i+x_j,...,x_n)=det(x_1,...,x_i,...,ax_i,...,x_n)+det(x_1,...,x_i,...,x_j,...,x_n)=0+det(x_1,...,x_i,...,x_j,...,x_n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ wegen Homogenität $\begin{eqnarray} det(x_1,...,x_i,...,ax_i,...,x_n)=a\cdot det(x_1,...,x_i,...,x_i,...,x_n) \end{eqnarray}$ , und weil alternierend heißt, dass das Vorzeichen wechselt für vertauschen von $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} det(x_1,...,x_i,...,x_i,...,x_n)=-det(x_1,...,x_i,...,x_i,...,x_n) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} det(x_1,...,x_i,...,x_i,...,x_n)=0 \end{eqnarray}$ .
25.03.2021, 11:07	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich greife mal die Idee von URL aus dem verlinkten Thread auf, demnach kann man deine Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ schreiben als $\begin{eqnarray} A = E-I \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ die aus sämtlich 1 bestehende Matrix ist, und $\begin{eqnarray} I \end{eqnarray}$ die Einheitsmatrix. Nun kann man sich folgendes überlegen: 1) Die über $\begin{eqnarray} A=B-sI \end{eqnarray}$ verknüpften Matrizen $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ (wobei $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ eine reelle oder komplexe Zahl sein möge) besitzen dieselben Eigenvektoren, genauer: Ist $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ Eigenvektor von $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , damm ist er auch Eigenvektor zu $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ , dort aber zum Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda-s \end{eqnarray}$ 2) Die $\begin{eqnarray} d\times d \end{eqnarray}$ -Matrix $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ besitzt den einfachen Eigenwert $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ mit zugehörigem Eigenvektor $\begin{eqnarray} (1,1,\ldots,1) \end{eqnarray}$ , sowie den $\begin{eqnarray} (d-1) \end{eqnarray}$ -fachen Eigenwert 0, der zugehörige ebenfalls $\begin{eqnarray} (d-1) \end{eqnarray}$ -dimensionale Eigenraum kann z.B. durch die Basis $\begin{eqnarray} (1,-1,0,\ldots,0) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} (1,0,-1,0,\ldots,0) \end{eqnarray}$ , ... , $\begin{eqnarray} (1,0,\ldots,0,-1) \end{eqnarray}$ beschrieben werden. Aus 1) und 2) folgen für dein $\begin{eqnarray} A=E-I \end{eqnarray}$ die Eigenwerte $\begin{eqnarray} (d-1) \end{eqnarray}$ einfach sowie $\begin{eqnarray} (-1) \end{eqnarray}$ in Vielfachheit $\begin{eqnarray} (d-1) \end{eqnarray}$ . Da die Determinante das Produkt aller Eigenwerte ist, folgt $\begin{eqnarray} \det(A) = (-1)^{d-1}\cdot (d-1) \end{eqnarray}$ , in deinem Fall $\begin{eqnarray} d=5 \end{eqnarray}$ wäre das $\begin{eqnarray} \det(A)=4 \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »