Wie kann ich hier die Summe und das Integral vertauschen?

20.03.2021, 14:32	Momo2806	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kann ich hier die Summe und das Integral vertauschen? Meine Frage: Ich muss im Rahmen meiner Bachelorarbeit in einem Kapitel zeigen die BBP-Formel beweisen und stecke in einem Unterkapitel fest und zwar muss ich hier in der Potenzreihendarstellung vom Arkustangens in einem Schritt die Vertauschung der Summe mit dem Integral begründen bzw. zeigen und komme nicht weiter... $\begin{eqnarray} arctan(x) = \int_{0}^{x} \! \frac{1}{1+t^{2}}\, dt <br /> =\int_{0}^{x} \!\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-t^{2})^{k}\, dt<br /> =\int_{0}^{x} \!\sum\limits_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}t^{2k} \, dt<br /> =\sum\limits_{k=0}^{\infty}\int_{0}^{x} \!(-1)^{k}t^{2k} \, dt<br /> =\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{2k+1}x^{2k+1} \end{eqnarray}$ und zwar wäre das hier die Beziehung zwischen dem vierten und fünften Ausdruck. Meine Ideen: Ich habe mir überlegt, ob ich hier den Satz des majorisierten Konvergenz benutzen muss und damit argumentieren muss dass $\begin{eqnarray} (-1)^{k}t^{2k} \end{eqnarray}$ in der Summe durch das wechselnde Vorzeichen in der Summe konvergiert und es dann deshalb gilt. Wie könnte ich diesen Schritt zusätzlich rückwärts zeigen? Also vom fünften Ausdruck zum Vierten? Ich müsste ja dann zeigen, dass ich das Integralzeichen vertauschen darf, jedoch weiß ich nicht wie ich es da begründen könnte. ich möchte in meiner B.A. diese Schritte rückwärts zeigen, damit ich am Ende auf die Integraldarstellung komme, da ich die Reihendarstellung schon in einem anderen Kapitel bewiesen habe... Bin für jede Hilfe dankbar!
20.03.2021, 14:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihen dürfen in ihrem Konvergenzbereich immer gliedweise integriert werden.

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