5-er Trick

20.03.2021, 15:18	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
5-er Trick In einem Video wird der "überraschende" 5-Trick mit einem Casio Taschenrechner ( Casio baut billige Uhren und TR imho ) vorgeführt: Im $\begin{eqnarray} \boxed{DEG} \end{eqnarray}$ Modus liefert dieser $\begin{eqnarray} \sin\left(\frac {1.}{5\,555\,5 55\,555.}\right)=3.141592654x10^{-12} \end{eqnarray}$ mit der süffisanten Frage garniert, wie in aller Welt denn hier die Zahl $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ins Spiel kommt. Mit Verlaub, ich sehe hier kein $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ Ich sehe eine Mantisse - die mein TR zu $\begin{eqnarray} 3.1415926539 \end{eqnarray}$ zurechtrückt - welche mit den Dezimalstellen von $\begin{eqnarray} \pi = 3.1415926535897... \end{eqnarray}$ wenig am Hut hat. Man könnte spitz formulieren, dass im Ergebnis fast alle Ziffern falsch sind.. Also, $\begin{eqnarray} \sin\left(\frac {1}{5\,555\,5 55\,555}\right) \end{eqnarray}$ im exakten Modus eingetippt, aber auch bei mehrmaligen Tippen von $\begin{eqnarray} \boxed{EVAL} \end{eqnarray}$ wurde die Arbeit verweigert und zwar mit noch ohne $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ Woran das nur liegen könnte?
20.03.2021, 16:20	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnen wir zunächst einmal ohne Taschenrechner: $\begin{align} \frac{1}{5555555555} = \frac{1}{10} \cdot \frac{18}{9999999999} = \frac{1}{10} \cdot 0{,} \overline{0000000018} \end{align}$ $\begin{align} = 0{,}0 \overline{0000000018} = 1{,} \overline{8000000001} \cdot 10^{-10} \approx 1{,}8 \cdot 10^{-10} = 180 \cdot 10^{-12} \end{align}$ Nun rechnen alle Taschenrechner der Welt bis auf endlich viele mit trigonometrischen Funktionen falsch. Bei der Einstellung Gradmaß geben sie nämlich die Einheit nicht mit aus, sondern ignorieren diese. So würde korrekt $\begin{align} \arccos(-1) = \pi = 180^{\circ} \end{align}$ gelten, während der Taschenrechner bei Einstellung Gradmaß $\begin{align} \cos^{-1}(-1) = 180 \end{align}$ ausgibt und sich somit glatt um den Faktor $\begin{align} 1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \end{align}$ vertut. Bei der Einstellung Gradmaß berechnet der Taschenrechner für die Eingabe $\begin{align} 180 \cdot 10^{-12} \end{align}$ in Wahrheit $\begin{align} \sin \left( 180 \cdot 10^{-12} \cdot 1^{\circ} \right) = \sin \left( 180 \cdot 10^{-12} \cdot \frac{\pi}{180} \right) = \sin \left( \pi \cdot 10^{-12} \right) \end{align}$ Für kleine $\begin{align} \|x\| \end{align}$ ist $\begin{align} \sin(x) \approx x \end{align}$ , so daß die Rechnung konsequenterweise in $\begin{align} \pi \cdot 10^{-12} \end{align}$ endet. Sind wird also froh: Zumindest in seinem Fehlverhalten ist der Taschenrechner konsequent.

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