Kegelvolumen

20.03.2021, 20:29

theniles

Kegelvolumen

Hi zusammen,

ich habe versucht mir die Volumenformel für einen Kegel selbst herzuleiten. Aber irgendwie scheine ich da etwas falsch zu machen.

Mein Ansatz
Ein Kegel ist ja nichts anderes als ein Kreis, dessen Radius entlang der Höhe des Kegels immer kleiner wird, bis er 0 ist (an der Spitze des Kegels). Also dachte ich mir, ich müsste die Kreisfläche $\begin{eqnarray*} \pi *r^{2} \end{eqnarray*}$ über die Kegelhöhe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ integrieren. Hier ist wahrscheinlich auch schon mein Denkfehler versteckt, ich habe folgendes getan.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{h} \! \,\int_{0}^{r} \! \pi r^{2} \, dr dh \end{eqnarray*}$

Nochmal zur Erläuterung: Das innere Integral gibt die sich stets ändernde Kreisfläche wider, das äußere Integral gibt die Höhe wider.

Wenn ich das oben stehende Doppelintegral dann ausrechne komme ich am Ende auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \pi r^{3} * h \end{eqnarray*}$

Das ist ja sehr nah an der tatsächlichen Formel für das Kegelvolumen, wenn dieses doofe $\begin{eqnarray*} r^{3} \end{eqnarray*}$ da nicht wäre und sich in seiner Dimension vertut.

Also meine Frage:
1. Treffe ich von Beginn an die falschen Annahmen?
2. Treffe ich die richtigen Annahmen, rechne aber oben stehendes Doppelintegral falsch aus?
3. Wie komme ich sonst anhand der Kreisfläche auf das Volumen?

Vielen Dank vorab.

20.03.2021, 22:02

klauss

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RE: Kegelvolumen
Hier gibt es noch einige Baustellen zu bereinigen, weshalb ich nur die wichtigsten Aspekte anschneiden will.

Zunächst ist Deine Schreibweise des Integrals untauglich, weil in den Integrationsgrenzen nicht die Integrationsvariable selbst stehen darf. Zumindest müßte man also diese voneinander abgrenzen, indem man den Integrationsgrenzen einen Index verpaßt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{h_{0} } \! \,\int_{0}^{r_{0} } \! \pi r^{2} \, dr dh \end{eqnarray*}$

Das ist aber überhaupt nur eine reine Notationsfrage.
Nächstes Problem: Dasselbe Integral kann ich mit anderen Buchstaben hinschreiben, denn es kommt nicht auf die Wahl des Variablennamens an.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{y_{0} } \! \,\int_{0}^{x_{0} } \! \pi x^{2} \, dx dy \end{eqnarray*}$

Hier wird nun ein weiterer Haken Deiner Idee sichtbar: Es handelt sich um ein Integral in kartesischen Koordinaten, in dem von einem gemeinten "Radius" nichts mehr sichtbar ist. Dass Du mit r vielleicht einen Kreis um den Ursprung bezeichnen willst, davon weiß das Integral nichts. D. h. es genügt natürlich nicht, eine Variable nur von x nach r umzubenennen, wenn man damit einen Radius meint, sondern man müßte eine förmliche Koordinatentransformation von kartesischen in Polarkoordinaten mit den dafür geltenden Regeln durchführen.

Zur Veranschaulichung, was Du mit dem obigen Integral berechnet hättest: das Volumen unterhalb der parabolisch gekrümmten roten Fläche und innerhalb der blauen Begrenzungen. Das ähnelt einem Kegel nicht wirklich.

[attach]52878[/attach]

Du wirst also um einen völlig neuen Ansatz nicht herumkommen. Dazu mag es mehrere Varianten geben, z. B.
1.) Beschreibung des Kegels als Rotationskörper um eine Koordinatenachse und Berechnung mit einfachem Integral
2.) Parametrisierung des Kegels in (sinnigerweise) Zylinderkoordinaten und Berechnung mit Dreifachintegral

Eine ansehnliche Aufgabe, für die Du vielleicht noch etwas Theorie vorab studieren müßtest, weshalb ich an dieser Stelle abwarte, ob jemand anderes eine bessere Idee parat hat.

21.03.2021, 09:13

Ulrich Ruhnau

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RE: Kegelvolumen

Zitat:

Original von theniles
Hi zusammen,

ich habe versucht mir die Volumenformel für einen Kegel selbst herzuleiten. Aber irgendwie scheine ich da etwas falsch zu machen.

Mein Ansatz
Ein Kegel ist ja nichts anderes als ein Kreis, dessen Radius entlang der Höhe des Kegels immer kleiner wird, bis er 0 ist (an der Spitze des Kegels). Also dachte ich mir, ich müsste die Kreisfläche $\begin{eqnarray*} \pi *r^{2} \end{eqnarray*}$ über die Kegelhöhe $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ integrieren. Hier ist wahrscheinlich auch schon mein Denkfehler versteckt, ich habe folgendes getan.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{h} \! \,\int_{0}^{r} \! \pi r^{2} \, dr dh \end{eqnarray*}$

Das Integral muß

$\begin{eqnarray*} V=\int_{0}^{h} \! \pi r^{2}(z) \dd z \end{eqnarray*}$

heißen. Du mußt Dir nur noch überlegen wie die Funktion r(z) auszusehen hat. ZB:

$\begin{eqnarray*} r(z)=\frac{(h-z)r_0}h \end{eqnarray*}$

21.03.2021, 14:08

rumar

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RE: Kegelvolumen

Zitat:

Du mußt Dir nur noch überlegen wie die Funktion r(z) auszusehen hat. ZB:

$\begin{eqnarray*} r(z)\ =\ \frac{(h-z) r_0}{h} \end{eqnarray*}$

Etwas einfacher wird es, wenn man die Spitze des Kegels in den Nullpunkt des Koordinatensystems setzt. Dann hat man:

$\begin{eqnarray*} r(z)\ =\ \frac{r_0}{h} \cdot z \end{eqnarray*}$

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