Partikulärer Ansatz gebrochen-rationale Funktion

20.03.2021, 23:08

Marsuxxx

Partikulärer Ansatz gebrochen-rationale Funktion

Meine Frage:
Es soll folgende DGL gelöst werden:

$\begin{eqnarray*} xy' + y= \frac{4x^2+9}{x^3-3x^2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich finde jedoch keinen Ansatz für die partikuläre Lösung. In meiner Formelsammlung gibt es sämtliche Ansätze für die verschiedenen rechten Seiten, aber eine gebrochen-rationale Funktion ist nicht dabei. Ich habe schon eine Partialbruchzerlegung gemacht, aber irgendwie ist das auch nicht zielführend. Ich würde mich daher über einen Tipp für den partikulären Ansatz freuen. Besten Dank!

20.03.2021, 23:25

Helferlein

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Versuch es doch mal mit der Variation der Konstanten.
Ansätze aus der Formelsammlung zu nehmen ist zwar praktisch, aber ersetzt leider auch zu oft das eigene Nachdenken.

21.03.2021, 09:02

Huggy

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RE: Partikulärer Ansatz gebrochen-rationale Funktion
Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} z=xy \end{eqnarray*}$ erhält man $\begin{eqnarray*} z'=xy'+y \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} z'=\frac{4x^2+9}{x^3-3x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\int \frac{4x^2+9}{x^3-3x^2} dx \end{eqnarray*}$

Die Integration ist mit Partialbruchzerlegung der rechten Seite leicht durchführbar.

21.03.2021, 09:37

Marsuxxx

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RE: Partikulärer Ansatz gebrochen-rationale Funktion

Zitat:

Original von Huggy
Mit der Substitution $\begin{eqnarray*} z=xy \end{eqnarray*}$ erhält man $\begin{eqnarray*} z'=xy'+y \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} z'=\frac{4x^2+9}{x^3-3x^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=\int \frac{4x^2+9}{x^3-3x^2} dx \end{eqnarray*}$

Die Integration ist mit Partialbruchzerlegung der rechten Seite leicht durchführbar.

Danke für den Tipp! So einen Ansatz habe ich ja noch nie gesehen. Scheint aber logisch zu sein.

Die Partialbruchzerlegung habe ich jetzt gemacht und habe folgendes erhalten:

$\begin{eqnarray*} z' = \frac{-1}{x} - \frac{3}{x^2} + \frac{5}{x-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = -ln(x) + \frac{3}{x} + 5 ln(x-3) \end{eqnarray*}$

Ist das jetzt noch mein Endergebnis oder muss ich noch irgendwas zurücksubstituieren?

21.03.2021, 09:56

Huggy

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RE: Partikulärer Ansatz gebrochen-rationale Funktion
Dein Ergebnis ist noch nicht ganz korrekt. Zunächst fehlt auf der rechten Seite die Integrationskonstante. Und das Argument des Logarithmus muss mit Betragsstrichen versehen werden. Es ist ja

$\begin{eqnarray*} \int \frac 1 x dx =\ln|x|+c \end{eqnarray*}$

Die Betragsstriche werden oft vergessen. Da nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gefragt ist, muss zum Schluss noch

$\begin{eqnarray*} y=\frac z x \end{eqnarray*}$

gesetzt werden.

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