Term mit Eulerscher Formel berechnen

21.03.2021, 01:49

digitalli

Term mit Eulerscher Formel berechnen

Hallo

Die Aufgabe lautet, dass man den folgenden Term mit der Eulerschen Formel berechnen und so weit wie möglich vereinfachen soll :

$\begin{eqnarray*} cos(\omega t+\frac{\pi}{4}) \cdot cos(10 \omega t)-sin(\omega t+\frac{\pi}{4}) \cdot sin(10 \omega t) \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht ob das so gewollt ist, aber ich würde zunächst mittels Additionstheorem und Euler zu $\begin{eqnarray*} cos(11 \omega t + \frac{\pi}{4})=\frac{e^{i \cdot(11 \omega t+ \frac{\pi}{4})}+e^{-i \cdot(11 \omega t+ \frac{\pi}{4})}}{2} \end{eqnarray*}$ umschreiben.

Habe ich damit eurer Meinung nach die Aufgabenstellung sinnvoll erfüllt ? Irgendwas berechnet habe ich ja bisher nicht und als viel schöner oder sonderlich vereinfacht empfinde ich das ebenso nicht. verwirrt

21.03.2021, 06:38

Ulrich Ruhnau

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RE: Eulersche Formel
Es gilt die einfache Beziehung

$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{eqnarray*}$ .

Diese Formel läßt sich hier am besten anwenden, und folgt auch aus der Beziehung

$\begin{eqnarray*} e^{i(\alpha+\beta)}=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta) \end{eqnarray*}$ .

21.03.2021, 09:14

HaddiV

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RE: Eulersche Formel
Hallo,

also für mich wäre $\begin{eqnarray*} cos(11 \omega t + \frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$ am weitesten vereinfacht. Das scheint doch der Sinn der Aufgabe zu sein, jedenfalls für mich Wink

Du kannst ja dein weiteres Vorgehen $\begin{eqnarray*} \frac{e^{i \cdot(11 \omega t+ \frac{\pi}{4})}+e^{-i \cdot(11 \omega t+ \frac{\pi}{4})}}{2} \end{eqnarray*}$ auch noch hinschreiben, das ist ja nicht falsch.

Letzten Endes kommt es wohl auf den Aufgabensteller an (kannst du den fragen, oder ist es eine Aufgabe aus einem Buch? Dann wäre sie mE nicht glücklich gestellt; wenn er schon die "Hilfsmittel" angibt, dann hätte er auch gleich und viel klarer "Additionstheoreme" angeben können. Vielleicht wollte er aber nicht gleich alles verraten?). Ich hätte es jedenfalls genauso gemacht wie du (nur etwas früher aufgehört...) Freude

Schönen Tag noch.

21.03.2021, 15:47

digitalli

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Vielen Dank für die Antworten.

Dasselbe Spielchen soll man jetzt auch noch für diesen Ausdruck machen:

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot cos(\omega t)+\sqrt{2} \cdot cos(\omega t - \frac{3 \pi}{4})-2 \cdot sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

Unter Nutzung der Eulerschen Identitäten kam ich etwas mühselig irgendwann auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^{i \cdot \omega t}+\frac{1}{2}e^{-i \cdot \omega t}-\frac{1}{2}i \cdot e^{i \cdot \omega t}-\frac{1}{2}i \cdot e^{-i \cdot \omega t} \end{eqnarray*}$
und das wäre ja zurück umgeformt wieder $\begin{eqnarray*} cos(\omega t)-i \cdot cos(\omega t)=cos(\omega t) \cdot (1-i) \end{eqnarray*}$ .

Wenn das stimmt, dann käme am Ende ja ein recht handlicher Ausdruck raus.
Ist das soweit korrekt und wenn ja, könnte man den vereinfachten Ausdruck auch direkter herleiten ?

Da in der Aufgabenstellung ausdrücklich von einer "Berechnung mit Hilfe der Eulerschen Formel" die Rede ist, sollen Additionstheoreme ja offenbar nicht benutzt werden.

21.03.2021, 15:51

mYthos

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RE: Eulersche Formel

Zitat:

Original von Ulrich Ruhnau
...
$\begin{eqnarray*} \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{eqnarray*}$ .

Diese Formel läßt sich hier am besten anwenden, und folgt auch aus der Beziehung

$\begin{eqnarray*} e^{i(\alpha+\beta)}=\cos(\alpha+\beta)+i\sin(\alpha+\beta) \end{eqnarray*}$ .

Und in einem Aufwaschen kriegt man natürlich auch $\begin{eqnarray*} \sin(\alpha + \beta) \end{eqnarray*}$ Big Laugh

21.03.2021, 23:04

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

Original von digitalli
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot cos(\omega t)+\sqrt{2} \cdot cos(\omega t - \frac{3 \pi}{4})-2 \cdot sin(\omega t) \end{eqnarray*}$

Unter Nutzung der Eulerschen Identitäten kam ich etwas mühselig irgendwann auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}e^{i \cdot \omega t}+\frac{1}{2}e^{-i \cdot \omega t}-\frac{1}{2}i \cdot e^{i \cdot \omega t}-\frac{1}{2}i \cdot e^{-i \cdot \omega t} \end{eqnarray*}$
und das wäre ja zurück umgeformt wieder $\begin{eqnarray*} cos(\omega t)-i \cdot cos(\omega t)=cos(\omega t) \cdot (1-i) \end{eqnarray*}$ .

Wenn das stimmt, dann käme am Ende ja ein recht handlicher Ausdruck raus.
Ist das soweit korrekt und wenn ja, könnte man den vereinfachten Ausdruck auch direkter herleiten ?

Der obere Ausdruck ist reell, also kann da nicht $\begin{eqnarray*} (1-i)\cos(\omega t) \end{eqnarray*}$ herauskommen.

Am besten konvertierst Du die trigonometrischen Ausdrücke alle in Expotentialfunktionen, sortierst das Ganze in reell und imaginär und konvertierst das zurück in einen Sinus oder Kosinus.

Ich schummle mal und nehme den Funktionspoltter zur Hilfe. Sei $\begin{eqnarray*} x=\omega t \end{eqnarray*}$

Der Grafik nach, halte ich eine Lösung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}\cos\left(\omega t+\frac \pi 4\right) \end{eqnarray*}$ für möglich.

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