Rotation von Kreuzprodukt

21.03.2021, 13:37

Nabla2

Rotation von Kreuzprodukt

Meine Frage:
Zu berechnen ist $\begin{eqnarray*} rot(\frac{1}{2} \alpha \times \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ mit Alpha ist konstanter Vektor im 3D .

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \nabla \times (\frac{1}{2}\alpha \times \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$
mittels Entwicklungssatz umschreiben zu
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \alpha (\nabla \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} )-r(\nabla \cdot \frac{1}{2}\alpha ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \frac{1}{2}\alpha = 0 \end{eqnarray*}$ wegen konstantem Vektor. Bleibt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \alpha (\nabla \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} )<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \nabla \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ ergibt bei mir 3, wmoit am Ende $\begin{eqnarray*} 1,5 \alpha \end{eqnarray*}$ rauskommt.

Richtig ist aber $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ . Wo ist mein Fehler?

Edit (mY+): LaTeX berichtigt, die einschließenden Tags fehlten. Anstatt Nabla ist \nabla zu setzen, dies ist ein eigenes Zeichen.

21.03.2021, 15:59

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Rotation von Kreuzprodukt

Zitat:

Original von Nabla2
Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \nabla \times (\frac{1}{2}\alpha \times \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$
mittels Entwicklungssatz umschreiben zu
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \alpha (\nabla \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} )-r(\nabla \cdot \frac{1}{2}\alpha ) \end{eqnarray*}$

Das ist nicht richtig. Den Graßmannschen Entwicklungssatz

$\begin{eqnarray*} a \times (b \times c)=(a \cdot c)b-(a \cdot b)c \end{eqnarray*}$

kann man nicht direkt anwenden, wenn $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ kein Vektor ist, sondern der Nablaoperator. In diesem Fall gilt stattdessen

$\begin{eqnarray*} \nabla \times (b \times c)=(c \cdot \nabla)b-(b \cdot \nabla)c +b (\nabla \cdot c)-c (\nabla \cdot b) \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} b=\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=r=(x_1,x_2,x_3)^T \end{eqnarray*}$

ergibt das

$\begin{eqnarray*} \nabla \times (\alpha \times r)=0-\alpha + 3 \alpha -0 = 2 \alpha \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Rotation von Kreuzprodukt

Verwandte Themen