Monotonie (1+x^2)/(2+x^2)

21.03.2021, 19:36

HiBee123

Monotonie (1+x^2)/(2+x^2)

Hallo Es gilt die Monotonie zu zeigen und ich steh ein wenig auf dem Schlauch
$\begin{eqnarray*} \frac{(1+x^2)}{(2+x^2)} \end{eqnarray*}$

21.03.2021, 19:45

Helferlein

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RE: Monotonie (1+x^2)/(2+x^2)
Am einfachsten geht es wohl so:
$\begin{eqnarray*} \frac{1+x^2}{2+x^2}=1-\frac1{2+x²} \end{eqnarray*}$

Was kannst Du über die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac1{2+x²} \end{eqnarray*}$ sagen?
Was folgt daraus für die Monotonie deiner Funktion? (ggf. ist der Definitionsbereich zu berücksichtigen, den Du uns verschwiegen hast)

21.03.2021, 19:56

HiBee123

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RE: Monotonie (1+x^2)/(2+x^2)
Sehr schön! klaro die Fkt G(x) geht gegen 0 für n gegen plus oder minus unendlich. somit Monoton steigend für n>0 und monoton fallend für N<0,
Definitionsbereiche waren herauszufinden...
Aber reicht das so? Kann ich sagen weil es gegen null geht muss es monoton wachsend (Bzw. monoton fallend ) sein?

also formal krieg ich noch hin $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{2+x^2}<1-\frac{1}{2+(x+h)^2} \end{eqnarray*}$ wenn x,h>0
damit monoton wachsend... (Und für x<0 ist ja monoton fallend, mit der argumentation von oben...geht das schöner, aber? )

21.03.2021, 20:17

Helferlein

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Monotonie und Grenzwerte hängen nicht unmittelbar zusammen, denn bei der Monotonie geht es um Teilbereiche auf denen die Funktion monoton wächst oder fällt. Der Grenzwert sagt aber nur etwas über das Verhalten im Unendlichen aus. Aus ihm lässt sich also bestenfalls das Monotonieverhalten für große bzw. kleine x. Aber was ist mit den Werten dazwischen?

Noch einmal meine Frage: Wie sieht die Funktion $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac 1 {2+x^2} \end{eqnarray*}$ aus? Kannst Du etwas über ihr Monotonieverhalten sagen? (Beachte das der Zähler konstant ist)
Was folgt daraus für die Monotonie deiner Funktion?

22.03.2021, 12:53

HiBee123

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Die Funktion ist streng monoton fallend für positive x. Ihr maximum ist bei 1/2.
daraus folgt dass das Minimum der Funktion bei 1/2 liegt und sie ab da monoton wächst, außerdem ist die Funktion achsensymetrisch weil f(-x)=f(x) ist und somit fällt sie von -oo bis zur 0 monoton.

23.03.2021, 20:14

Helferlein

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Wenn Du das so meinst, ist es in Ordnung:

Zitat:

Original von HiBee123
Die Funktion g ist streng monoton fallend für positive x. Ihr Maximum ist bei 1/2.
Daraus folgt dass das Minimum der Funktion f bei 1/2 liegt und sie ab da monoton wächst, außerdem ist die Funktion f achsensymetrisch weil f(-x)=f(x) ist und somit fällt sie von -oo bis zur 0 monoton.

Natürlich lässt sich das ganze auch über die erste Ableitung begründen: $\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2x}{(2+x^2)^2} \end{eqnarray*}$
Somit ist $\begin{eqnarray*} sign \left(f'(x)\right)=sign(x) \end{eqnarray*}$

24.03.2021, 11:11

HiBee123

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Cool. Danke Freude

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