Satz zum Supremum

25.03.2021, 11:56

HiBee123

Satz zum Supremum

Zu beweisen gilt: $\begin{eqnarray*} \xi = sup X \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists x_{\epsilon} \in X <br /> \xi -\epsilon<x_{\epsilon}\leq \xi \end{eqnarray*}$

Also wenn xi obere Schranke ist, gilt immer x <=xi und andersherum wenn immer X<=xi gilt ist xi obere schranke. aber wie man jetzt nachweist dass es die kleinste obere schranke ist... unglücklich

Hilfe?

25.03.2021, 13:34

klarsoweit

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RE: Satz zum Supremum
Bei einer Äquivalenzaussage sind formal 2 Richtungen zu zeigen:

1. $\begin{eqnarray*} \xi = sup X \Rightarrow \forall \epsilon > 0 ~ \exists x_{\epsilon} \in X : \xi -\epsilon < x_{\epsilon} \leq \xi \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 ~ \exists x_{\epsilon} \in X : \xi -\epsilon < x_{\epsilon} \leq \xi \Rightarrow \xi = sup X \end{eqnarray*}$

In beiden Fällen sollte ein Widerspruchsbeweis (Annahme der gegenteiligen Behauptung) zum Ziel führen.

25.03.2021, 15:52

HiBee123

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RE: Satz zum Supremum
Ja soweit so klar. Und ich kann auch Beweisen dass wenn Xi obere schranke ist, alle x < xi sein müssen, und genauso dass wenn alle x<xi , xi obere schranke sein muss... Ich verstehe nur nicht was es mit der epsilonumgebung auf sich hat, die ja scheinbar klarstellt dass xi nicht nur obere Schranke sonder auch Supremum ist... was tun? verwirrt

26.03.2021, 08:36

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RE: Satz zum Supremum
Fangen wir mal an mit:

1. $\begin{eqnarray*} \xi = sup X \Rightarrow \forall \epsilon > 0 ~ \exists x_{\epsilon} \in X : \xi -\epsilon < x_{\epsilon} \leq \xi \end{eqnarray*}$

Der erste Schritt (vielleicht auch schon der schwerste) ist, die Negierung der Behauptung zu erstellen:

Diese sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \exists \epsilon > 0 ~ \forall x \in X : \xi -\epsilon \geq x \lor x > \xi \end{eqnarray*}$

Dabei scheidet die Ungleichung $\begin{eqnarray*} x > \xi \end{eqnarray*}$ schon aus, denn aufgrund der Supremumeigenschaft von $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ist in jedem Fall $\begin{eqnarray*} x \leq \xi \end{eqnarray*}$ .

Somit müßte für ein $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und für alle x aus X die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \xi -\epsilon \geq x \end{eqnarray*}$ gelten. Ich hoffe, du erkennst da nun den Widerspruch. smile

26.03.2021, 09:57

HiBee123

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RE: Satz zum Supremum
Ja danke smile

Ich seh's. Und für die andere Richtung nehme ich einfach an $\begin{eqnarray*} \xi \ne Sup X \end{eqnarray*}$ dann muss x entweder $\begin{eqnarray*} x > \xi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x<\xi-\epsilon \end{eqnarray*}$ für ein epsilon

26.03.2021, 10:14

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RE: Satz zum Supremum
Hm. Ich merke gerade, daß das alleine nicht ausreicht. Wir brauchen ja auch, daß grundsätzliche für alle x aus X gilt, daß $\begin{eqnarray*} x \leq \xi \end{eqnarray*}$ ist.

An dieser Stelle wäre der komplette originale Aufgabentext hilfreich.

26.03.2021, 10:58

HiBee123

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RE: Satz zum Supremum

Zitat:

Original von HiBee123
Zu beweisen gilt: $\begin{eqnarray*} \xi = sup X \Leftrightarrow \forall \epsilon > 0 \exists x_{\epsilon} \in X <br /> \xi -\epsilon<x_{\epsilon}\leq \xi \end{eqnarray*}$

Dass ist schon der ganze Aufgabentext... aber natürlich muss x< xi sein, xi ist ja schließlich das Supremum... oder? Was übersehe ich... geschockt

26.03.2021, 11:29

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RE: Satz zum Supremum
Aus der Aussage $\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 ~ \exists x_{\epsilon} \in X : \xi -\epsilon < x_{\epsilon} \leq \xi \end{eqnarray*}$ ergibt sich eben nicht, daß $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ erstmal eine obere Grenze ist. Das wäre aber durchaus wichtig. Und daß $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ das Supremum ist, soll ja gerade gezeigt werden.

Wenn der Aufgabentext nicht mehr hergibt, mußt du dann leider den Aufgabensteller fragen.

26.03.2021, 12:29

HiBee123

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RE: Satz zum Supremum
Hammer

oh ja stimmt. Also hier steht noch dass xi obere Schranke von X sein muss, hatte ich überlesen...

26.03.2021, 12:56

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RE: Satz zum Supremum
OK, das wäre also geklärt. Allerdings sehe ich an dieser Stelle

Zitat:

Original von HiBee123
Und für die andere Richtung nehme ich einfach an $\begin{eqnarray*} \xi \ne Sup X \end{eqnarray*}$ dann muss x entweder $\begin{eqnarray*} x > \xi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x<\xi-\epsilon \end{eqnarray*}$ für ein epsilon

keinen Widerspruch. Entgegen meiner ursprünglichen Meinung geht es direkt leichter:

Wir wissen nun, daß $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ eine obere Grenze ist. Nun stellt sich die Frage, ob es möglicherweise ein epsilon > 0 gibt, so daß auch $\begin{eqnarray*} \xi - \epsilon \end{eqnarray*}$ eine obere Grenze ist. Das kann aber nicht sein, da es laut Voraussetzung für jedes epsilon > 0 immer ein x gibt mit $\begin{eqnarray*} x > \xi - \epsilon \end{eqnarray*}$ .

26.03.2021, 14:54

HiBee123

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RE: Satz zum Supremum
Respekt

Ergibt Sinn, Danke!

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