Trapezregel zum Berechnen eines Integrals

25.03.2021, 12:21

diebrunhilde

Trapezregel zum Berechnen eines Integrals

Meine Frage:
Hallo,

ich solle das Integral (siehe Anhang) mit der Trapezregel approximieren. Leider hab ich gar nicht verstanden wie ich die Formel benutzen soll

Meine Ideen:
Ich habe mir diese Formel aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac{h}{2}*(f(a)+2*f(a+h)+f(a2+h) \end{eqnarray*}$

h ist ja $\begin{eqnarray*} \frac{b-a}{2} \end{eqnarray*}$ , dementsprechend also 1

für f(a) setze ich dann einfach 2 ein un würde auf
$\begin{eqnarray*} 1*(2*e^{\frac{2}{2}}+2*( 2*e^{\frac{2}{2}}+2 +2*e^{\frac{2}{2}}+2) \end{eqnarray*}$

Ich wäre sehr dankbar wenn mit jemand erklären könnte ob die Idee Stimmt bzw wie ich das einsetzen muss

25.03.2021, 12:38

klarsoweit

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RE: Trapezregel zum Berechnen eines Integrals

Zitat:

Original von diebrunhilde
Ich habe mir diese Formel aufgeschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac{h}{2}*(f(a)+2*f(a+h)+f(a2+h) \end{eqnarray*}$

Gemeint ist wohl: $\begin{eqnarray*} \frac{h}{2} \cdot (f(a) + 2 \cdot f(a+h) + f(a+2h)) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von diebrunhilde
für f(a) setze ich dann einfach 2 ein un würde auf
$\begin{eqnarray*} 1*(2*e^{\frac{2}{2}}+2*( 2*e^{\frac{2}{2}}+2 +2*e^{\frac{2}{2}}+2) \end{eqnarray*}$

Ganz ehrlich: ich verstehe nicht, was du da machst. Insbesondere, warum du für f(a) 2 einsetzt. verwirrt

25.03.2021, 13:44

gast_free

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RE: Trapezregel zum Berechnen eines Integrals
$\begin{eqnarray*} f(x)=x\cdot e^{\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=0; x_2=2 \end{eqnarray*}$

Konstruktion einer Fläche als Näherung für die Integralfläche:
$\begin{eqnarray*} F=\frac{f(x_2)+f(x_1)}{2}\cdot (x_2-x_1) \end{eqnarray*}$

Werte einsetzen:
$\begin{eqnarray*} f(0)=0; f(2)=2\cdot e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F=2\cdot e \end{eqnarray*}$

Probe (Kurz das Integral berechnen):

$\begin{eqnarray*} \int \! x\cdot e^{\frac{x}{2}} \, dx=2\cdot x\cdot e^{\frac{x}{2}}-2\cdot \int \!e^{\frac{x}{2}}\, dx=2\cdot x\cdot e^{\frac{x}{2}}-4\cdot e^{\frac{x}{2}}=2\cdot e^{\frac{x}{2}}\cdot (x-2) \end{eqnarray*}$

Probe Stammfunktion:
$\begin{eqnarray*} F(x)=2\cdot e^{\frac{x}{2}}\cdot (x-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F'(x)=e^{\frac{x}{2}}\cdot (x-2)+2\cdot e^{\frac{x}{2}}=x\cdot e^{\frac{x}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2} \! x\cdot e^{\frac{x}{2}} \, dx =4\cdot e \end{eqnarray*}$

Aufgrund des relativ großen Fehlers von 100% sollte man lieber das Intervall von 0 bis 2 feiner unterteilen. Ich würde es mindestens in Schritten von 0,25 angehen. Hier sind dann acht Trapeze zu berechnen, die dann aufaddiert werden. Das ist jetzt Deine Arbeit. Wie das geht steht ja am Beispiel eines Intervalls von 0 bsi 2 beschrieben.

25.03.2021, 18:02

diebrunhilde

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RE: Trapezregel zum Berechnen eines Integrals
Ahhh ich habs glaub ich jetzt verstanden, vielen Dank!

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