Unleserlich! Gleichung lösen

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25.03.2021, 20:36

Löser

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Gleichung lösen

Meine Frage:
Wer hilft mir die Gleichung

550= 13,5x^2 ? e^(0,06x) zu lösen

Meine Ideen:
Ich hab keinen Ansatz

25.03.2021, 20:50

Leopold

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Wenn das Fragezeichen einen Malpunkt darstellen soll:

$\begin{align*} 550 = 13{,}5 \, x^2 \cdot \operatorname{e}^{0{,}06x} \end{align*}$

dann ist diese Gleichung nicht durch Umformungskalkül lösbar. Warum nicht probieren!

Für $\begin{align*} x=5 \end{align*}$ ergibt die rechte Seite den Wert 455,6, für $\begin{align*} x=6 \end{align*}$ den Wert 696,6. Eine Lösung liegt daher zwischen 5 und 6. Ein Blick auf den Graphen zeigt, daß es noch zwei negative Lösungen geben muß, falls solche überhaupt gesucht sind.

Wie lautet denn die originale Aufgabe?

25.03.2021, 21:08

Löser1

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Die Aufgabe lautete:

die FUnktion f(x) = 1450 +13,5x² * e^0,06x gibt die täglichen VErkaufszahlen von Smartphones an

x Tage seit Markteinführung f(x) Anzahl der verkauften Smartphones pro Tag

Aufgbae:

Bestimmen Sie in welchem Zeitraum mehr als 2000 SMartphones verkauft wurden.

Ich habe die Gleichung deshalb = 2000 gesetzt.

Der Operator "Bestimme" lässt ja vermuten, dass man es nicht durch Umformen lösen soll.

Kann der Weiße Casio TR fx-991DE X das lösen?
Oder geht nur probieren.

25.03.2021, 21:25

Leopold

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Vielleicht hat dein Taschenrechner einen Gleichungslöser, der dir eine Näherungungslösung ausgibt. Ich kenne den Casio TR fx-991DE X nicht.

Im übrigen muß man diese Funktion als Modell für die tatsächlichen Verkaufszahlen verstehen. Theoretisch kann man $\begin{align*} x = 1{,}653 \end{align*}$ eingeben. Aber ist das sinnvoll? Kann man fragen, wie hoch die Verkaufszahlen nach 1,653 Tagen sind? Und sind Verkaufszahlen nicht ganze Zahlen? Können pro Tag 1567,94 Taschenrechner verkauft werden? Das ganze Modell ist fragwürdig. Aber lassen wir es gelten. Dafür sind wir dann auch großzügig beim Rechnen. Ich würde $\begin{align*} f(1),f(2),f(3) \end{align*}$ und so weiter berechnen, bis ich über 2000 komme. Du meinst doch, mehr als 2000 verkaufte Smartphones pro Tag?

Allerdings erscheint mir deine gesamte Funktion fragwürdig. Die Verkaufszahlen schnellen ja exponentiell in die Höhe, bis in alle Ewigkeit. Kann es sein, daß im Exponenten der e-Funktion ein Minuszeichen fehlt? Es ist ja auch nach einem Zeit"raum" gefragt. Das würde ich als beschränktes Intervall verstehen. Dazu paßt deine Funktion nicht.

26.03.2021, 07:54

HAL 9000

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Zitat:

Original von Löser1
die FUnktion f(x) = 1450 +13,5x² * e^0,06x gibt die täglichen VErkaufszahlen von Smartphones an

[...]

Bestimmen Sie in welchem Zeitraum mehr als 2000 SMartphones verkauft wurden.

Das klingt ein wenig danach, als habe man auch einen oberen zeitlichen Abschluss, was bei deiner Funktion nicht der Fall ist:

Ganz sicher, dass sich kein Fehler in die Funktion eingeschlichen hat? Mich wundert ein wenig das "ewige" monotone Wachstum der Verkaufszahlen. Eine unimodale Verkaufskurve (die nächste Smartphonegeneration steht schon in den Startlöchern) scheint mir plausibler.

Wenn ich mal raten dürfte: Vielleicht war ja $\begin{eqnarray*} f(x) = 1450 +13{,}5x^2\cdot e^{-0{,}06x} \end{eqnarray*}$ gemeint? verwirrt

26.03.2021, 08:02

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Löser1
...
Bestimmen Sie in welchem Zeitraum mehr als 2000 SMartphones verkauft wurden.

Das hat mich auch schon gewundert. Bei diesen Verkaufszahlen wäre das Weltall bald mit Smartphones gefüllt. Nicht mal ein schwarzes Loch hätte mehr Platz.

26.03.2021, 08:51

Steffen Bühler

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Oder es ist eine Fangfrage und wirklich die Gesamtzahl der verkauften Handys gemeint, also wann die Summe größer als 2000 ist. Das ginge dann im Kopf.

Viele Grüße
Steffen

26.03.2021, 10:11

gast_free

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RE: Gleichung lösen
$\begin{eqnarray*} f(t) = a +b\cdot t^2\cdot e^{k\cdot t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s = a +b\cdot t^2\cdot e^{k\cdot t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{s-a}{b} = t^2\cdot e^{k\cdot t} \end{eqnarray*}$

Näherung:
$\begin{eqnarray*} e^{k\cdot t} = 1+k\cdot t + \frac{(k\cdot t)^2}{2} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt:
$\begin{eqnarray*} \frac{s-a}{b}=t^2+k\cdot t^3 + \frac{k^2\cdot t^4}{2} \end{eqnarray*}$

Umformen:
$\begin{eqnarray*} \frac{k^2\cdot t^4}{2}+k\cdot t^3+t^2- \frac{s-a}{b}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^4+\frac{2\cdot t^3}{k}+\frac{2\cdot t^2}{k^2}- \frac{2}{k^2}\cdot {\frac{s-a}{b}}=0 \end{eqnarray*}$

Werte einsetzen:
$\begin{eqnarray*} t^4-\frac{2\cdot t^3}{0,06}+\frac{2\cdot t^2}{0,06^2}- \frac{2}{0,06^2}\cdot {\frac{2000-1450}{13,5}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^4-33\cdot t^3+555\cdot t^2-555\cdot {41}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t^4-33\cdot t^3+555\cdot t^2-22755=0 \end{eqnarray*}$

Lösung:
$\begin{eqnarray*} t=8,01 \end{eqnarray*}$

Probe:
$\begin{eqnarray*} 1450 + 866,2\cdot e^{-0,48}=1450+866,2\cdot 0,62=1986 \end{eqnarray*}$

Also relativ dicht dran! Jetzt würde ich zwei Werte berechnen. Vielleicht zwischen 8,0 und 8,2 und Interplieren.

26.03.2021, 13:55

Ulrich Ruhnau

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Zitat:

verbessertes Original von Löser1
Die Aufgabe lautete:

die FUnktion $\begin{eqnarray*} f(x) = 1450 +13{,}5\,x^2 e^{0{,}06\,x} \end{eqnarray*}$ gibt die täglichen VErkaufszahlen von Smartphones an

x Tage seit Markteinführung f(x) Anzahl der verkauften Smartphones pro Tag

Aufgabe:

Bestimmen Sie in welchem Zeitraum mehr als 2000 SMartphones verkauft wurden.

Das schreit doch nach der Lambertschen W-Funktion.

$\begin{eqnarray*} \left.2000 = 1450 +13{,}5\,x^2 e^{0{,}06\,x}\quad \right|-1450 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left.550 = 13{,}5\,x^2 e^{0{,}06\,x}\quad \right|:13{,}5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left.\frac{550}{13{,}5} = x^2 e^{0{,}06\,x}\quad \right|\sqrt{\quad} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left.\sqrt{\frac{550}{13{,}5}} = x \,e^{0{,}03\,x}\quad \right|\cdot 0{,}03 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left.0{,}03\cdot\sqrt{\frac{550}{13{,}5}} = 0{,}03\,x \,e^{0{,}03\,x}\quad \right| \end{eqnarray*}$ Ab hier kommt die Lambertsche W-Funktion zum Einsatz. Sie ist die Umkehrfunkton zu $\begin{eqnarray*} x\to x\,e^x \end{eqnarray*}$ Es gilt:

$\begin{eqnarray*} z=W(z)e^{W(z)} \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} 0{,}03\,x=W\left(0{,}03\cdot\sqrt{\frac{550}{13{,}5}} \right) \end{eqnarray*}$

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