Newton-Verfahren

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26.03.2021, 20:29

New33

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Newton-Verfahren

Hallo Leute hat jemadn tipps wie ich das
F`(x) berechne ?

27.03.2021, 10:22

Huggy

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RE: Newton Verfahren
$\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ wird zunächst mit der Summenregel abgeleitet. Der erste Summand kann mit der Quotientenregel

$\begin{eqnarray*} \left ( \frac u v \right)'=\frac {u'v-uv'}{v^2} \end{eqnarray*}$

abgeleitet werden oder auch mit der Kettenregel.

27.03.2021, 12:27

New33

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$\begin{eqnarray*} F`(x) = \frac{x^2-2-4x}{(x^2-2)^2} +1 \end{eqnarray*}$

Was muss ich genau bei s(0) machen ?

27.03.2021, 13:03

Huggy

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Bei deiner Ableitung ist der Zähler des Bruchs nicht korrekt. Beachte: Bei $\begin{eqnarray*} u(x)=2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} u'(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

Was mit Suchrichtung gemeint ist, ist mir nicht klar. Mögliche Interpretationen wären

$\begin{eqnarray*} s^{(n)}=F'(x_n) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} s^{(n)}=- \frac{F(x_n)}{F'(x_n)} \end{eqnarray*}$

Da musst du mal in dein Skript schauen.

27.03.2021, 15:17

New33

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$\begin{eqnarray*} F`(x) = \frac{-4x}{(x^2-2)^2} +1 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist es richtig oder ?

27.03.2021, 15:26

New33

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hast du ne Ahnung wie man das mit x^1 ,x^2 berechnen kann ?
Finde dazu nix

27.03.2021, 16:08

Huggy

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Zitat:

Original von New33
hast du ne Ahnung wie man das mit x^1 ,x^2 berechnen kann ?
Finde dazu nix

l
Das kann ja gar nicht sein. Ihr habt doch das Verfahren durchgenommen. Es steht auch überall, z. B.

https://de.wikipedia.org/wiki/Newtonverfahren

gleich die erste Gleichung.

Die Ableitung ist jetzt richtig.

27.03.2021, 16:40

New33

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Kannst du erklären wie man diese Formel anwendet ?

x2 = x1 - f(x1)/f`(x1)

Ist das so richtig angewendet ?

Wüsste nicht was man da jetzt für das f(...) einsetzt?

27.03.2021, 16:50

Huggy

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Zitat:

Original von New33
Wüsste nicht was man da jetzt für das f(...) einsetzt?

Ja mei, $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ ist die zu betrachtende Funktion. Bei dir heißt sie halt $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ .
Und du musst mit dem gegebenen $\begin{eqnarray*} x^{(0)} \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite beginnen, also zuerst musst du $\begin{eqnarray*} x^{(1)} \end{eqnarray*}$ ausrechnen und danach dann $\begin{eqnarray*} x^{(2)} \end{eqnarray*}$ .

27.03.2021, 17:18

New33

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x1 = x0 - f(x0)/f`(x0)

Ich habe in der Formel beim ersten Mal für n = 0 eingesetzt ?

So?

27.03.2021, 17:20

Huggy

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Korrekt.

27.03.2021, 17:23

New33

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$\begin{eqnarray*} x(1) = \frac{-4}{(1-2)^2} +1 = -3 \end{eqnarray*}$

richtig ?

27.03.2021, 17:31

New33

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$\begin{eqnarray*} x(2) = \frac{-8}{(4} +1 = -1 \end{eqnarray*}$

Das wäre das andere Ergebnis ?

27.03.2021, 17:38

Huggy

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Nein, falsch! unglücklich

Gib dir bitte mehr Mühe.

Bei dir soll auf der rechten Seite anscheinend $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ stehen. Das ist aber falsch ausgerechnet und außerdem soll doch

$\begin{eqnarray*} x_1=0-\frac {f(0)}{f'(0)}=-\frac {f(0)}{f'(0)} \end{eqnarray*}$

berechnet werden.

$\begin{eqnarray*} f(0)=? \end{eqnarray*}$

f $\begin{eqnarray*} '(0)=? \end{eqnarray*}$

27.03.2021, 18:40

New33

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$\begin{eqnarray*} x_1=0-\frac {f(0)}{f'(0)}=-\frac {f(0)}{f'(0)} = \frac{-1}{1} =-1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich für n= 1 einsetzte dann

$\begin{eqnarray*} x_1=x_1-\frac {f(0)}{f'(0)}= \end{eqnarray*}$ ?

27.03.2021, 18:51

Huggy

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Zitat:

Original von New33
$\begin{eqnarray*} x_1=0-\frac {f(0)}{f'(0)}=-\frac {f(0)}{f'(0)} = \frac{-1}{1} =-1 \end{eqnarray*}$

Wieder nicht sorgfältig ausgeführt! unglücklich

Richtig ist

$\begin{eqnarray*} x_1=0-\frac {f(0)}{f'(0)}=-\frac {f(0)}{f'(0)} =- \frac{-1}{1} =1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wenn ich für n= 1 einsetzte dann

$\begin{eqnarray*} x_1=x_1-\frac {f(0)}{f'(0)}= \end{eqnarray*}$ ?

Du machst einem wirklich schwer, auf böse Bemerkungen zu verzichten. Hier muss stehen

$\begin{eqnarray*} x_2=x_1-\frac {f(1)}{f'(1)}= \end{eqnarray*}$

27.03.2021, 21:10

New33

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$\begin{eqnarray*} x_2=x_1-\frac {f(1)}{f'(1)}= x_1 +\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Big Laugh

Richtig oder ?

jetzt happert es nur an s^1 und s^0 ? Big Laugh

27.03.2021, 21:32

Huggy

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Das Vorzeichen vor $\begin{eqnarray*} 1/3 \end{eqnarray*}$ ist falsch und du musst noch $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite einsetzen.

Zitat:

Original von Huggy
Was mit Suchrichtung gemeint ist, ist mir nicht klar. Mögliche Interpretationen wären

$\begin{eqnarray*} s^{(n)}=F'(x_n) \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} s^{(n)}=- \frac{F(x_n)}{F'(x_n)} \end{eqnarray*}$

Da musst du mal in dein Skript schauen.

27.03.2021, 21:51

New33

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1 - 1/3 = 2/3

Big Laugh

mal sehen vielleicht kommt ein User der was weiss Big Laugh

Im Skript finde ich nix dazu

27.03.2021, 22:40

klauss

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RE: Newton-Verfahren
Vielleicht eine interessante Nachbemerkung:

Bei der gegebenen Funktion könnte man auf die Idee kommen, zusammenzufassen
$\begin{eqnarray*} F(x)=\frac{2}{x^{2}-2 } +x=\frac{x^{3}-2x+2 }{x^{2}-2 } \end{eqnarray*}$
und sich zu sagen: Dann ist für Nullstellen nur das Zählerpolynom von Belang, daher führe ich das Newton-Verfahren durch für
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{3}-2x+2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{'}(x)=3x^{2}-2 \end{eqnarray*}$
Dies ist (zufällig?) Beispiel 1 aus dem Wikipedia-Artikel zur Nicht-Konvergenz, wobei letztere dann viel schneller absehbar ist als bei Verwendung der Original- $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ .

Warum in der vorliegenden Aufgabe ein Startwert jenseits der Polstelle gewählt wurde und welchen pädagogischen Nutzen dann die 2 Iterationsschritte haben sollen, vermag vielleicht New33 aufzuklären.

27.03.2021, 22:45

New33

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Nein leider kann ich den pädagogischen Nutzen nicht aufklären Big Laugh

Hast du nee Idee wie man das mit der Suchrichtung machen kann?

27.03.2021, 22:54

klauss

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RE: Newton-Verfahren
Zur Suchrichtung kann ich leider auch nichts gewisses beitragen. Kann mir höchstens vorstellen, dass damit etwas wie absteigend/aufsteigend in x-Richtung oder oszillierend gemeint ist.
Aber nachdem Huggy es schon nicht sagen konnte, ist mein Unwissen auch nicht ehrenrührig.

27.03.2021, 23:14

New33

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Ok Verstehe

28.03.2021, 09:25

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Zitat:

Original von Huggy

$\begin{eqnarray*} s^{(n)}=- \frac{F(x_n)}{F'(x_n)} \end{eqnarray*}$

Ja das müsste die Suchrichtung sein

28.03.2021, 10:12

New33

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$\begin{eqnarray*} s^{(0)}=- \frac{F(0)}{F'(0)} = -1 \end{eqnarray*}$

Wäre das ok ?

28.03.2021, 10:21

New33

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$\begin{eqnarray*} s^{(1)}=- \frac{F(1)}{F'(1)} = 1/3 \end{eqnarray*}$

und das nächste wäre s?

28.03.2021, 11:05

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Zitat:

Original von New33
$\begin{eqnarray*} s^{(0)}=- \frac{F(0)}{F'(0)} = -1 \end{eqnarray*}$
Wäre das ok ?

Den Fehler hattest du doch schonmal
$\begin{eqnarray*} s^{(0)}=- \frac{F(0)}{F'(0)} = -(-1)=1 \end{eqnarray*}$

Das heißt man sucht rechts,da 1 größer Null ist

$\begin{eqnarray*} x^{(n+1)}= x^{(n)} +s^{(n)} \end{eqnarray*}$
Aufpassen mit den Vorzeichen

Zitat:

Original von New33
$\begin{eqnarray*} s^{(1)}=- \frac{F(1)}{F'(1)} = 1/3 \end{eqnarray*}$

und das nächste wäre s?

$\begin{eqnarray*} s^{(1)}=- \frac{F(1)}{F'(1)}=-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

28.03.2021, 11:06

Huggy

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Beides mal falsches Vorzeichen! unglücklich

Edit: Hatte die Antwort von xb noch nicht gesehen.

28.03.2021, 11:41

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Ich habe mir das mal betrachtet

28.03.2021, 14:47