Einheiten bei Zinseszins-Formel

27.03.2021, 09:56

April-Scherz

Einheiten bei Zinseszins-Formel

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich verstehe nicht, warum in der Zinseszinsformel

K(t) = Ko * (1+p/100)^t

die Einheiten von p und t einfach weggelassen werden dürfen. Das Endergebnis K(t) hat ja die Einheit vom Geldbetrag (z.B. Euro), aber was "passiert" mit der Einheit vom Zinssatz p und mit der Einheit von der Zeit t?
Sie kürzen sich ja nicht einfach weg?
Und - soweit ich mich an meine Schulzeit erinnere - darf man bei Umformungen die Einheiten nicht einfach weglassen, wenn sie sich nicht wegkürzen.

Meine Ideen:
In der Formel

K(t) = Ko * (1+p/100)^t

bedeuten:
K(t) = Kapital nach t Jahren in Euro
Ko = Anfangskapital in Euro
p = Zinssatz mit der Einheit 1/Jahr (Eins geteilt durch Jahr, denn der Zinssatz bezieht sich auf ein Jahr)
t = Verzinsungszeitraum mit der Einheit Jahren

Setzt man die in der Aufgabenstellung gegebenen Größen mit Maßeinheit ein,
bleiben auf der rechten Gleichungsseite die Einheiten 1/Jahr (im Klammerterm) und Jahre (im Exponenten) bestehen und kürzen sich nicht weg.
Beispiel:
Ko = a Euro
p = b % /Jahr
t = c Jahre
Werte in Zinseszinsformel einsetzen:
K(t) = a Euro * (1 + (b/100) * (1/Jahr)) ^c Jahre
Jahr im Nenner des Klammerterms und Jahre im Exponenten kann man nicht gegeneinander wegkürzen, so daß diese Einheiten "übrig bleiben", obwohl das Endergebnis doch nur die Einheit Euro haben darf?
Hier stehe ich vor einem Rätsel und komme nicht weiter.
Könntet Ihr mir bitte einen Tipp geben, wo mein Denkfehler ist?
Viele Grüße

27.03.2021, 10:45

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$\begin{eqnarray*} K(t)=K_{0} \cdot(1+\frac{p}{100%}) ^{\frac{t}{Jahre} } \end{eqnarray*}$

27.03.2021, 10:50

Leopold

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RE: Einheiten bei Zinseszins-Formel
Die Formel müßte eigentlich so lauten:

$\begin{align*} K(t) = K_0 \cdot \left( 1 + \frac{p}{100} \right)^{\lambda \, t} \end{align*}$

$\begin{align*} p \end{align*}$ ist eine einheitenlose Zahl. Der Faktor $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ hat die Einheit $\begin{align*} \frac{1}{\text{Zeiteinheit}} \end{align*}$ .

Beispiel:

Ein Kapital $\begin{align*} K_0 \end{align*}$ wird in einem Zweijahreszeitraum mit 1,5 % stetig verzinst. Dann ist $\begin{align*} \lambda = 0{,}5 \frac{1}{\text{Jahr}} \end{align*}$ , und die Formel lautet

$\begin{align*} K(t) = K_0 \cdot 1{,}015^{0{,}5 \frac{1}{\text{Jahr}} \cdot \, t} \end{align*}$

In der Regel gibt man den jährlichen Zinssatz an. Dann ist $\begin{align*} \lambda = 1 \frac{1}{\text{Jahr}} \end{align*}$ . Der Faktor wird dann erst gar nicht mehr hingeschrieben und die Einheit unterdrückt. Am besten macht man es so, wie es die Mathematiker tun. Sie legen bei der Angabe der Funktion fest, in welchen Einheiten die unabhängige und die abhängige Variable geschrieben werden, und rechnen im weiteren ohne Einheiten.

27.03.2021, 11:15

G270321

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RE: Einheiten bei Zinseszins-Formel

Zitat:

Ein Kapital K0 wird in einem Zweijahreszeitraum mit 1,5 % stetig verzinst.

Bei dieser Verzinsung gilt: K*e^(i*t), i= p/100

Zitat:

Stetige Verzinsung DefinitionDie übliche Verzinsung erfolgt für bestimmte Zeiträume: Zinsen werden z. B. jährlich, halbjährlich oder vierteljährlich gutgeschrieben (sogenannte diskrete Verzinsung).Eine stetige Verzinsung hingegen erfolgt nicht in Abständen, sondern fortlaufend (man kann sich z. B. vorstellen, jede Minute werden Zinsen berechnet und gutgeschrieben, wodurch sich das in der nächsten Minute zu verzinsende Kapital erhöht; wenn man sich dann Sekunden oder noch kleinere Zeiteinheiten vorstellt, kommt man der stetigen Verzinsung immer näher).Die stetige Verzinsung wird mit folgender Formel berechnet:Kt=K0⋅ei⋅t

Zitat:

Die stetige Verzinsung ist eine extreme Form des Zinseszinses.

27.03.2021, 11:32

TNT

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RE: Einheiten bei Zinseszins-Formel
Hallo Ihr Drei Wink

vielen Dank, Ihr habt mir sehr geholfen Freude

Ich wünsche Euch ein schönes Wochenende smile

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Einheiten bei Zinseszins-Formel

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