Eulersche Zahl, e-Funktion

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HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »
Eulersche Zahl, e-Funktion
Hallo Leute es gilt irgendwie die Identität
zu zeigen
Bekannt sind die Summendarstellung, der binomische Lehrsatz

wie kann man hier vorgehen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal müsste man wissen, von welchen Definitionen der Elemente der Behauptung bei euch ausgegangen werden soll. Ich vermute mal

, d.h., die Reihenentwicklung, sowie

.

Ist es so gemeint?
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Wink Genau so.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wende den binomischen Lehrsatz an und forme um. Zeige für :



Die Klammerfaktoren lassen sich alle nach oben durch 1 abschätzen, so daß sich mit das Folgende ergibt:



ergibt. Die andere Richtung ist etwas diffiziler. Halte ein fest und beachte für alle die Abschätzung



die durch Weglassen positiver Summanden entsteht. Was erhält man für ? Wie kann man den Schluß rechtfertigen?

EDIT
Schreibfehler ausgebessert
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »

Huch geschockt was is dat denn?
Also das erste kapier ich noch
mit der binomischen Formel, aber wie mache ich weiter sodass das ding darauskommt?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

 
 
Nils Hoppenstedt Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

dieser Link ist ebenfalls einen Blick wert:

https://math.stackexchange.com/questions...oof/54499#54499

Viele Grüße,
Nils
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so geht das ,cool. Big Laugh
Zitat:



hier meintest du bestimmt
Für geht das Ding natürlich gegen
Deshalb vermute ich mal gibt es ein K so, dass was zu zeigen war.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HiBee123
hier meintest du bestimmt


Ja, ich habe es oben ausgebessert.

Zitat:
Original von HiBee123
Für geht das Ding natürlich gegen


Viel zu oberflächlich. So geht das nicht.
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja , aber moment... für geht doch der Hintere Term gegen und somit gegen
damit haben wir mit sandwichlemma, Dass e^x genau unsere Reihe ist, oder nicht?
Überseh ich was?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

So funktioniert das nicht. Man weiß gar nicht, wovon du sprichst. Wenn du dir mal meinen ersten Beitrag zu Gemüte führst, dann siehst du, daß ich als Summationsindex genommen habe. In der letzten Abschätzung kommen dann noch ein und ein vor. Und genau darauf kommt es an! Da kann man nicht einfach so nonchalant darüber hinwegpfuschen. Du kannst natürlich deine eigenen Bezeichnungen wählen, aber dann mußt du auch die gesamten Formeln neu hinschreiben und sagen, was du in welcher Formel an welcher Stelle tust. Mit ein wenig Getue und ein paar hingeworfenen Stichworten wie Sandwichlemma ist es hier nicht getan.
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »

Also gut, also gut... dann versuch ich's mal ausführlich.


So nun geht jede Klammer rechts für gegen 1
damit der ganze Term gegen
also insgesamt erhält man
Erstaunt2 jetzt hab ich gar keine Abschätzung nach oben oder unten gebraucht...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HiBee123
Erstaunt2 jetzt hab ich gar keine Abschätzung nach oben oder unten gebraucht...


Klar hast du die nicht gebraucht. Deine Argumentation ist ja auch falsch.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist den Gefahren des doppelten Grenzübergangs erlegen. Dazu einen Kalauer.

Ein Patient kommt wegen Magenbeschwerden zum Arzt. Der Arzt rät ihm, öfter zu essen, dafür bei der einzelnen Mahlzeit weniger. Von da ab aß der Patient immer nichts.

Vielleicht wird dir dein Denkfehler bewußter, wenn ich ihn auf eine andere Situation übertrage:

HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HiBee123

So nun geht jede Klammer rechts für gegen 1


Damit liegst du falsch: Dazu müssen wir nur den Summanden für anschauen, und dort auch nur den letzten Faktor



Nichts zu sehen von einer Konvergenz gegen 1. unglücklich


Nein, du musst das ganze auftrennen: Für kannst du für alle zunächst abschätzen



Jetzt führe bei festgehaltenem (!) rechts den Grenzübergang durch. Vorher kann man die rechte Seite noch weiter abschätzen, was die Betrachtungen vielleicht ein wenig transparenter macht:



Wenn man (noch) nicht weiß, ob der Grenzwert links auch existiert, kann man im folgenden sicherheitshalber mit statt agieren:

.

und das für jedes .
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub ich habs begriffen! Danke an alle! smile

Erstmal schätze ich ab

und da k beliebig aber fest ist, kann ich wenn n->oo das wiederum abschätzen mit
(das darf ich weil k fest ist)
und so komme ich dann auf die Summe über den Fakultäten als untere Schranke.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

? oder ? oder was?

Zitat:
Original von HiBee123
und da k beliebig aber fest ist, kann ich wenn n->oo das wiederum abschätzen mit


Wer oder was ist das?

Am besten ist, du schreibst die Folgerung, die du ziehen willst, einmal in Formelsprache auf. Du kannst Bezeichnernamen am Anfang einer Rechnung festlegen, sie aber zwischendurch nicht einfach so wechseln.
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »


und da k beliebig aber fest ist, kann ich wenn n->oo das Letzte wiederrum abschätzen mit
ich hoffe jetzt passts ? Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du gehen läßt, wie kann dann in der Rechnung überhaupt noch auftreten? Und wie kommst du auf das letzte Gleichheitszeichen? Die beiden Terme sind offensichtlich ungleich. Im übrigen ist ein Term keine Aussage.

Beginnen wir einmal so. Betrachten wir Folgen und mit Grenzwerten beziehungsweise . Aus für alle (hinreichend großen) folgt dann: .

Jetzt überlege, welche Rolle in unserm Fall von und welche von eingenommen wird.
HiBee123 Auf diesen Beitrag antworten »

Mmhh.. Also

und

Und jetzt gilt



und... jetzt muss ja lim a_n>=lim b_n und damit haben wir jetzt die Abschätzung nach unten
und die nach oben hatten wir ja schon. Und jetzt stimmt es hoffentlich... oder muss ich noch was mit dem K machen? ...
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