9 Personen 3 Wagen

29.03.2021, 14:20

yellowman

9 Personen 3 Wagen

Hallo zusammen, ich habe die Aufgabe:
Neun Personen besteigen einen Zug mit drei Wagen. Jede Person wählt zufällig und unabhängig von den anderen Personen einen Wagen. Wie groß ist unter geeigneter Laplace-Annahme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
a) genau 4 Personen in den ersten Wagen steigen
b) jeweils 3 Personen in jeden Wagen steigen.

Meine Ideen:

a) Hier habe ich mit der Binomialverteilung gerechnet.
$\begin{eqnarray*} P(\text{Genau 4 in den ersten Wagen})=\binom{9}{4}(\frac{1}{3})^4(\frac{2}{3})^5 \end{eqnarray*}$

b) Hier bin ich mir nicht sicher.
$\begin{eqnarray*} P(\text{3 Personen in jeden Wagen})=\frac{3\binom{9}{3}+2\binom{6}{3}+1\binom{3}{3}}{3^9} \end{eqnarray*}$

Passt das?

Lieben Gruß smile

29.03.2021, 16:51

Huggy

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RE: 9 Personen 3 Wagen
a) ist richtig.

Bei b) plädiere ich für

$\begin{eqnarray*} P(\text{3 Personen in jeden Wagen})=\frac{\binom{9}{3} \binom{6}{3} \binom{3}{3}}{3^9} \end{eqnarray*}$

29.03.2021, 17:19

yellowman

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RE: 9 Personen 3 Wagen

Zitat:

Original von Huggy
a) ist richtig.

Bei b) plädiere ich für

$\begin{eqnarray*} P(\text{3 Personen in jeden Wagen})=\frac{\binom{9}{3} \binom{6}{3} \binom{3}{3}}{3^9} \end{eqnarray*}$

Hallo Huggyy, habe ich auch erst gedacht aber ich dachte das bei $\begin{eqnarray*} \binom{9}{3} \end{eqnarray*}$ die 3 ausgewählten noch 3 Möglichkeiten besitzen sich einen Wagen zu wählen. Bei den $\begin{eqnarray*} \binom{6}{3} \end{eqnarray*}$ dann noch 2 Möglichkeiten und bei den letzten 3 Personen nur noch eine Möglichkeit. Wieso wäre das falsch?

Vielen Dank smile

29.03.2021, 17:25

Huggy

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RE: 9 Personen 3 Wagen
Vielleicht wird es klarer, wenn man die Bedingung so formuliert: Es müssen genau 3 Personen in Wagen 1 einsteigen und genau 3 Personen in Wagen 2 und genau 3 Personen in Wagen 3.

29.03.2021, 18:09

HAL 9000

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@yellowman

Grundsätzlich falsch ist schon mal, dass du hier Anzahlen summieren willst, als ginge es hier um das Abzählen einer Vereinigung disjunkter Fälle, d.h. $\begin{eqnarray*} |A\cup B|=|A|+|B| \end{eqnarray*}$ .

Nein, es geht hier eher um ein Kartesisches Produkt $\begin{eqnarray*} |A\times B| = |A|\cdot |B| \end{eqnarray*}$ , hier mit

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ... Menge der Auswahlen von 3 aus 9 für Wagen 1

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ... Menge der Auswahlen von 3 aus den verbliebenen 6 für Wagen 2 ,

da werden die Anzahlen multipliziert statt summiert.

29.03.2021, 18:42

klauss

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RE: 9 Personen 3 Wagen
Die Formel der Multinomialverteilung bestätigt das Ergebnis von Huggy.

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ : Wagen 1 wird ausgewählt
$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ : Wagen 2 wird ausgewählt
$\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ : Wagen 3 wird ausgewählt
$\begin{eqnarray*} P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n=9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A=3,B=3,C=3)=\frac{9!}{3!3!3!}\cdot \left(\frac{1}{3} \right)^{3}\left(\frac{1}{3} \right)^{3} \left(\frac{1}{3} \right)^{3} \end{eqnarray*}$

(In dieser Verallgemeinerung allerdings eher kein Schulstoff mehr)

29.03.2021, 18:57

Huggy

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RE: 9 Personen 3 Wagen

Zitat:

Original von klauss
Die Formel der Multinomialverteilung bestätigt das Ergebnis von Huggy.
...

(In dieser Verallgemeinerung allerdings eher kein Schulstoff mehr)

Ein guter Hinweis!
Auch wenn die Multinomialverteilung kein Schulstoff ist, ist doch für den interessierten Schüler zugänglich.

29.03.2021, 18:58

yellowman

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RE: 9 Personen 3 Wagen

Zitat:

Original von Huggy
Vielleicht wird es klarer, wenn man die Bedingung so formuliert: Es müssen genau 3 Personen in Wagen 1 einsteigen und genau 3 Personen in Wagen 2 und genau 3 Personen in Wagen 3.

Alles klar, vielen Dank ich denke das macht jetzt Sinn Freude

Lieben Gruß smile

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