Koeffizienten ablesen

30.03.2021, 08:43	ujuj1	Auf diesen Beitrag antworten »
Koeffizienten ablesen Wieso ist $\begin{eqnarray} [z^n]\frac{1}{1-z}e^{-z}=\sum_{k=0}^{n}[z^k]e^{-z} \end{eqnarray}$ ? Die eckige Klammer steht für den zugehörigen Koeffizienten von z^n bzw z^k. Spielt der Bruch eine Rolle?
30.03.2021, 08:57	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Gewöhnungsbedürftige Schreibweise... Soll also heißen, es ist $\begin{eqnarray} \left[z^n\right]\sum_{k=0}^{\infty} a_k z^k := a_n \end{eqnarray}$ definiert, oder? Na schauen wir uns das doch mal bei deiner Behauptung an: Laut Cauchyprodukt ist für $\begin{eqnarray} \|z\|<1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-z}\cdot e^{-z} = \sum_{i=0}^{\infty} z^i \cdot \sum_{j=0}^{\infty} \frac{(-1)^j}{j!} z^j = \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{k=0}^m \frac{(-1)^k}{k!} z^m \end{eqnarray}$ und somit gemäß deiner Symbolik $\begin{eqnarray} \left[z^n\right] \frac{1}{1-z}e^{-z} = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} \end{eqnarray}$ . Die andere Gleichungsseite deiner Behauptung kannst du selbst umformen. P.S.: Wenn man sich das genauer anschaut, dann spielt die Reihenentwicklung von $\begin{eqnarray} e^{-z} \end{eqnarray}$ gar keine wichtige Rolle in der Rechnung, d.h., es gilt allgemeiner: Besitzt $\begin{eqnarray} g(z) \end{eqnarray}$ eine Potenzreihenentwicklung im Nullpunkt mit Konvergenzradius $\begin{eqnarray} R>0 \end{eqnarray}$ , so besitzt $\begin{eqnarray} \frac{g(z)}{1-z} \end{eqnarray}$ ebenfalls eine solche Potenzreihenentwicklung mit Konvergenzradius $\begin{eqnarray} \min(1,R) \end{eqnarray}$ , und es gilt $\begin{eqnarray} \left[z^n\right]\frac{g(z)}{1-z} = \sum_{k=0}^n \left[z^k\right]g(z) \end{eqnarray}$

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