Konvergenz einer komplexen Reihe

Neue Frage »

30.03.2021, 22:00	Eradan	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer komplexen Reihe Meine Frage: Hallo, ich habe eine spezielle Reihe gegeben (siehe Bild), bei der zu zeigen ist, dass sie für alle s aus den komplexen Zahlen konvergiert, solange nur Re(s)>0 gegeben ist. Weiß jemand wie man hier am besten herangeht? Oder hatte schon mal jemand eine ähnliche Reihe? Vielen Dank schon ein mal im Voraus! Meine Ideen: Mein Ansatz war zu zeigen, dass die Reihe absolut konvergiert, dass war allerdings nicht wirklich zielführend...
31.03.2021, 06:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine Dirichlet-Reihe, die bekanntlich in einer rechten Halbebene $\begin{eqnarray} Re(s) >\sigma_0 \end{eqnarray}$ konvergiert und dort eine holomorphe Funktion $\begin{eqnarray} F(s) \end{eqnarray}$ darstellt. In der linken Halbebene $\begin{eqnarray} Re(s) <\sigma_0 \end{eqnarray}$ divergiert die Reihe. Ähnlich wie bei Potenzreihen berechnet man $\begin{eqnarray} \sigma_0 \end{eqnarray}$ als lim sup. Für Einzelheiten würde ich bei Apostol "Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory" nachlesen.
31.03.2021, 09:39	Eradan	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Hilfe!
31.03.2021, 11:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Wenn du konkrete Ergebnisse hast, dann würde ich sie gerne sehen, weil ich dann aufhören kann, darüber nachzudenken und weiter zu forschen. Dirichlet-Reihen haben die Form $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} \frac {f(k)}{k^s} \end{eqnarray}$ , und es ist $\begin{eqnarray} \sigma_0=lim\,sup_{N\to \infty}\frac {log(\|f(1)+...+f(N)\|)}{log(N)} \end{eqnarray}$ . Auf die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und den lim sup muss man erst mal kommen.
01.04.2021, 20:28	Eradan	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, allerdings bin ich noch nicht wirklich weiter, wegen der speziellen Form von Dirichlet-Reihen und weil diese Reihe etwas davon abweicht. Ich bin noch nicht sicher, ob sich die Konvergenz am leichtesten auf diesem Weg zeigen lässt, oder ob es nicht noch einen Trick gibt...
01.04.2021, 21:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich die beiden Reihen, Summe über die Restklasse 2 mod 4 und 1 mod 4, betrachte, dann sind das 2 Teilsummen der Riemannschen $\begin{eqnarray} \zeta \end{eqnarray}$ - Funktion, also jedenfalls für Re(s)>1 konvergent, ihre Differenz h(s) also auch. Nur ist es leider "ein weiter Weg" von 1 zur 0.
Anzeige

01.04.2021, 22:13	Eradan	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf jeden Fall ein interessanter Ansatz, aber ja der Weg von 1 zu 0 scheint schon noch sehr weit
01.04.2021, 22:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, aber ein endlich weiter Weg sollte hoffentlich in endlicher Zeit zurückgelegt werden können. Ich weiß nur nicht, wie das geht und wie lange es dauern wird.
02.04.2021, 06:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Für s=0 addieren wir unendlich oft $\begin{eqnarray} (4k+2)^0-(4k+1)^0=1-1=0 \end{eqnarray}$ , also konvergiert die Reihe im Nullpunkt gegen 0. Als Dirichletsche Reihe konvergiert sie deswegen in der rechten Halbebene. (Wir haben den Sprung von 1 nach 0 geschafft. Ein kleiner Schritt für mich, ein großer Sprung für die Menschheit. ). Jetzt musst du nur noch einen Punkt mit Re(s)=0 finden, für den die Reihe divergiert, und die Sache ist erledigt, weil die Dirichletsche Reihe dann in der linken Halbebene divergiert. Für s=-1 addieren wir unendlich oft 4k+2-4k-1=1, also haben wir Divergenz für Re(s)<-1. Vielleicht bist du auch schon fertig, denn in der Aufgabe wird die Konvergenz für Re(s)>0 behauptet, nicht aber die Divergenz für Re(s)<0.
03.04.2021, 10:33	Eradan	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht schlecht! Und vielen Dank! Ja, es ging eigentlich nur um die Konvergenz für Re(s)>0 also alles geschafft
03.04.2021, 11:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer komplexen Reihe Ohne viel Theorie: $\begin{eqnarray} h(s) = \sum_{k=0}^\infty \left [ (4k +2)^{-s} - (4k+1)^{-s} \right] = \sum_{k=0}^\infty \int^{4k +2}_{4k+1} y^{-s - 1} \mathrm d y = \int_{ \bigcup_{k =0}^\infty(4k+1, 4k+2) } y^{-s - 1} \mathrm d y \end{eqnarray}$ . Mit $\begin{eqnarray} \|h(s)\| \leq \int_1^\infty y^{-\mathrm{Re}(s) - 1} \mathrm dy < \infty \end{eqnarray}$ wäre die Aussage dann gezeigt.
03.04.2021, 13:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehe ich nicht, aber das liegt zweifellos an mir. Kannst du dann auch sagen, wo die Reihe konvergiert ?
03.04.2021, 15:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Integral $\begin{eqnarray} \int_1^\infty y^\alpha \mathrm{d} y \end{eqnarray}$ konvergiert genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \alpha < -1 \end{eqnarray}$ ist. Hier übersetzt es sich mit $\begin{eqnarray} \alpha := - \mathrm{Re}(s) - 1 \end{eqnarray}$ dann zur Bedingung $\begin{eqnarray} -\mathrm{Re}(s) -1 < -1 \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \mathrm{Re}(s) >0 \end{eqnarray}$ . D.h. hierfür konvergiert das Integral und damit auch die Reihe.
03.04.2021, 17:36	Eradan	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank @IfindU! Ist auf jeden Fall ein sehr eleganter Weg, an den ich selbst nicht gedacht hätte

Neue Frage »

Antworten »

Konvergenz einer komplexen Reihe

Verwandte Themen