Exponentialfunktion

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30.03.2021, 22:35	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentialfunktion Hallo miteinander Ich habe folgendes gegeben: 10 Schüler kennen ein Gerücht. Jede Person erzählt es pro Tag 3 weiteren Personen weiter. Wie lautet die Funktionsgleichung? --> f(x) = 10*3^x Scheint mir schon verständlich, aber: Korrekt ist das nicht, oder? Weil was ist mit den 10 Personen, welche das Gerücht zu beginn bereits kennen? Danke fürs Aufklären.
31.03.2021, 00:40	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zeit in Tagen nennst du $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und die Anzahl der Schüler $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ . Am Anfang, also am nullten Tag, sind es 10 Schüler, kurz $\begin{eqnarray} f(0)=10 \end{eqnarray}$ . Liest man die Aufgabe nun als $\begin{eqnarray} f(x+1)=3f(x) \end{eqnarray}$ oder äquivalent $\begin{eqnarray} f(x)=3f(x-1) \end{eqnarray}$ , ist bei dir alles in Butter. Du machst allerdings keine Angabe des Lösungswegs; der Lehrer wird das eventuell monieren. Hier liegt die Differenzengleichung einer geometrischen Folge vor. Zur Überprüfung ob die von dir angegebene Funktion eine Lösung der Differenzengleichung ist, setzt du die Funktion in die Differenzengleichung ein. Zudem ist die Funktion in die Anfangsbedingung einzusetzen. Womöglich könnte die Aufgabe auch so zu verstehen sein, dass jeder Schüler, dem das Gerücht zu Ohren gekommen ist, dieses nicht nur einmal an drei andere weitergibt, sondern mit jedem Tag wieder an drei andere. Dann wäre $\begin{eqnarray} f(1) = 3f(0), \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(2) = 3f(1)+3f(0), \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(3) = 3f(2)+3f(1)+3f(0) \end{eqnarray}$ usw. Allgemein $\begin{eqnarray} f(x) = 3f(x-1)+3f(x-2)+\ldots+3f(0). \end{eqnarray}$
31.03.2021, 06:13	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort. Aber...angenommen, 2 Personen kennen das Gerücht, d.h. f(0) = 2 und jede Person sagt es einmal 3 weiteren Personen weiter. Ich habe die Gleichung: f(x) = 2*3^x. Am Tag 0 kennen es 2 Personen. Am Tag 1 kennen es 8 Personen (2 am Anfang plus 6 neue); aber: f(1) ist nicht 8, sondern 6... mach' ich da etwas falsch bzw. habe ich etwas falsch verstanden? Danke für die Klärung.
31.03.2021, 09:09	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
In der unteren Betrachtung von Finn ist $\begin{eqnarray} f(n) \end{eqnarray}$ ... Anzahl der Personen, die am $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ -ten Tag das Gerücht erstmalig erfahren . Man könnte natürlich auch betrachten $\begin{eqnarray} g(n) \end{eqnarray}$ ... Anzahl der Personen, die insgesamt nach $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Tagen das Gerücht kennen . Dann hat man die einfachere Rekursion $\begin{eqnarray} g(n) = g(n-1) + 3g(n-1) = 4g(n-1) \end{eqnarray}$ .
31.03.2021, 09:27	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Also wenn eine Person das Gerücht jeden Tag an 3 weitere Personen weitergibt, dann vervierfacht sich doch die Zahl der "das Gerücht kennenden" Personen. Damit ist doch klar, welche Basis für die Exponentialfunktion zu nehmen ist.
31.03.2021, 10:54	gast_free	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentialfunktion Summe der Personen die am i-ten Tag vom Gerücht insgesamt gehört haben. $\begin{eqnarray} s(0)=P_0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s(1)=3\cdot s(0)+s(0)=4\cdot s(0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(2)=3\cdot s(1)+s(1)=4\cdot s(1)=4^2\cdot s(0) \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} s(i)=3\cdot s(i-1)+s(i-1)=4\cdot s(i-1)=4^i\cdot s(0) \end{eqnarray}$ ... $\begin{eqnarray} s(n)=3\cdot s(n-1)+s(n-1)=4\cdot s(n-1)=4^n\cdot s(0) \end{eqnarray}$ Anzahl von Personen, die am n-ten Tag vom Gerücht gehört haben. $\begin{eqnarray} s(n)=4^n\cdot P_0 \end{eqnarray}$ : Formel (1) Beweis (Vollständige Induktion): Verankerung: $\begin{eqnarray} s(0)=4^0\cdot P_0=P_0 \end{eqnarray}$ Induktionsschritt von n-1 auf n: $\begin{eqnarray} s(n)=4^{n-1}\cdot P_0+3\cdot s(n-1)=4^{n-1}\cdot P_0+3\cdot 4^{n-1}\cdot P_0=4^{n-1}\cdot P_0\cdot (1+3)=4^n\cdot P_0 \end{eqnarray}$ : Formel (2) Ausdrücke (1) und (2) stimmen überein. Q.E.D.
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31.03.2021, 11:44	Finn_	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann zeige ich noch, wie man HALs Ausführung ausführlich nachrechnen kann. Er definiert $\begin{eqnarray} g(n) := \sum_{k=0}^n f(k) = f(0)+f(1)+ \ldots + f(n). \end{eqnarray}$ Für die Differenz zweier aufeinanderfolgender Folgenwerte bekommen wir $\begin{eqnarray} g(n)-g(n-1) = \sum_{k=0}^n f(k) - \sum_{k=0}^{n-1} f(k) = f(n). \end{eqnarray}$ In die Differenzengleichung $\begin{eqnarray} f(n) = 3\sum_{k=0}^{n-1} f(k) \end{eqnarray}$ eingesetzt ergibt sich $\begin{eqnarray} g(n) - g(n-1) = 3g(n-1), \end{eqnarray}$ das macht $\begin{eqnarray} g(n) = 4g(n-1). \end{eqnarray}$
01.04.2021, 06:05	Thomas007	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo miteinander und danke für Eure Ausführungen. Wenn man also nach der Zeit fragt, nach der z.B. 100 Personen das Gerücht kennen, dann stimmt NICHT diese Gleichung: 103^x = 100; sondern diese: 104^x = 100. Weil da gehts ja um jene, die insgesamt das Gerücht kennen. Nicht um jene, die das Gerücht zum ersten Mal hören...
01.04.2021, 08:22	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Am Tag 0 kennen es 10, am Tag 1 kennen es 40 usw.

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