Komplexe Integrale

31.03.2021, 14:44

gast_free

Komplexe Integrale

Meine Frage:
Folgendes ist zu beweisen ohne Anwendung des Integralsatzes von Cauchy:

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} \! (z-z_0)^n \, dz=i\cdot 2\cdot \pi \end{eqnarray*}$

Für

$\begin{eqnarray*} n=-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ Geschlossene Kreiskurve mit dem Radius 1 um $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Integrand:
$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z-z_0} \end{eqnarray*}$

Kurve parametrisiert um den Nullpunkt der Gaußebene:
$\begin{eqnarray*} \gamma(t)=cos(t)+i\cdot sin(t)=e^{i\cdot t} \end{eqnarray*}$

Kurve parametrisiert um den Punkt Z0 in der Gaußebene:
$\begin{eqnarray*} \gamma(t)^*=[cos(t)+x_0]+i\cdot [sin(t)+y_0]=e^{i\cdot t}+e^{i\cdot \alpha} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha=arctan(\frac{y_0}{x_0}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_0=e^{i\cdot \alpha} \end{eqnarray*}$

Ableitung der Kurve.
$\begin{eqnarray*} \dot \gamma^*(t)=i\cdot e^{i\cdot t}=\dot \gamma(t) \end{eqnarray*}$

Funktion Parametrisieren.
$\begin{eqnarray*} f(z(t))=\frac{1}{z(t)-z_0} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z(t)=e^{i\cdot t}+e^{i\cdot \alpha} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z(t)-z_0=e^{i\cdot t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(z(t))=\frac{1}{e^{i\cdot t}} \end{eqnarray*}$

Integrand mit Parametrisierung.
$\begin{eqnarray*} f(z(t))\cdot \dot \gamma(t)=\frac{i}{e^{i\cdot t}}\cdot e^{i\cdot t}=i \end{eqnarray*}$

Integral Parametrisiert.
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\cdot \pi}{f(z(t))\cdot \dot \gamma(t)}dt=\int_{0}^{2\cdot \pi}{i} dt =i \cdot 2\cdot \pi \end{eqnarray*}$

Ist das so formal der richtige Weg?

31.03.2021, 16:22

Huggy

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RE: Komplexe Integrale
Das ist korrekt.
Etwas kürzer ist es, wenn man $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ einfach stehen lässt.

$\begin{eqnarray*} \gamma(t)=z(t)=e^{it}+z_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z'(t)=ie^{it} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=\int_0^{2 \pi} \frac {ie^{it}}{e^{it}+z_0-z_0}dt=\int_0^{2 \pi} i \, dt \end{eqnarray*}$

01.04.2021, 09:58

gast_free

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RE: Komplexe Integrale
Danke Huggy. Ich versuche nach langer Zeit meine mathematischen Kenntnisse aufzufrischen und zu erweitern. Ohne Not nur als Hobby. Daher laviere ich mich an einige Themen noch etwas umständlich heran. Zur Zeit beacker ich die Funktionentheorie.

01.04.2021, 10:21

Huggy

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RE: Komplexe Integrale

Zitat:

Original von gast_free
Ich versuche nach langer Zeit meine mathematischen Kenntnisse aufzufrischen und zu erweitern. Ohne Not nur als Hobby.

So etwas finde ich gut! Bei dem Versuch, die eine oder andere Frage hier im Forum zu beantworten, habe ich auch viel, was ich nach dem Studium nie mehr brauchte, auffrischen müssen.

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