Dichtefunktion einer stetig verteilten Zufallsvariablen

Neue Frage »

31.03.2021, 21:34

NewBaby33

Auf diesen Beitrag antworten »

Dichtefunktion einer stetig verteilten Zufallsvariablen

hey alle zusammen habe wieder mal eine Aufgabe
Habt ihr tipps wie ich vorgehen kann?

31.03.2021, 22:37

dichter

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal zu a)

Was muss denn gelten, damit f(x) eine gültige Dichtefunktion ist ?
Stichwort: Integraleigenschaft

31.03.2021, 22:58

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

.. um dichter etwas zu präzisieren: Die Fläche unter der Dichtefunktion ...

mY+

31.03.2021, 22:59

dichter

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu b), c) und d) :

Für all diese gesuchten Größen gibt es entsprechende Formeln, hast du tatsächlich gar keine Formel dafür parat ?

Für c) schreit es nach der Vereinfachung der Varianzformel durch den Verschiebungssatz, da der Wert für E(X²) ja extra schon angegeben ist.

01.04.2021, 00:04

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

.. die Angabe dieses Wertes ist redundant (!), denn er ist (im Verschiebungssatz) durch $\begin{eqnarray*} \int x^2 \cdot f(x) + \ldots \end{eqnarray*}$ zu berechnen ( $\begin{eqnarray*} \frac 1 8 + \frac {27} 8 = \frac 7 2 \end{eqnarray*}$ ),
wenn man die Funktionen schon ermittelt hat.

01.04.2021, 00:58

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll ich das a bei der a) berechnen ?

01.04.2021, 03:03

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von dichter
Erstmal zu a)

Was muss denn gelten, damit f(x) eine gültige Dichtefunktion ist ?
Stichwort: Integraleigenschaft

Diese Frage musst du zuerst beantworten und verstehen. Nicht gelungen?
Im gesamten Bereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ (d.h. von -unendlich bis +unendlich) muss die Gesamtfläche unter der Dichtefunktion (mit der X-Achse) gleich 1 sein. Denn diese Fläche (= 100% = 1) entspricht der maximale Wahrscheinlichkeit.

Berechne also zunächst die Fläche von 0 bis 1, die Fläche von 1 bis 4 ist die Differenz zu 1. Damit kannst du eine Gleichung für a erstellen.
Ein Mittel (und Kontrolle) ist auch die Stetigkeit der Dichtefunktion, daher wird die stetige Fortsetzung der zweiten Abschnittsfunktion für die Stelle 1 den gleichen Funktionswert wie die erste Abschnittsfunktion besitzen.

Das sollte dir weiterhelfen; (a = 2/3).

Mittels sauber erstellter Graphen wird die Sache zusätzlich anschaulich und erleichtert auch die Berechnung (Fläche A1).

[attach]52915[/attach]

-----------

Da dichter der Erstantwortende war, stelle ich mich wieder in den Hintergrund, werde aber weiterhelfen, falls es gewünscht bzw. erforderlich ist.

mY+

01.04.2021, 19:30

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

Was für eine Art von Integral soll ich aufstellen dafür ?

Komme nicht darauf

01.04.2021, 20:11

dichter

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int_0^1~\frac{1}{2}x ~dx \end{eqnarray*}$ -----> 1. Integral

$\begin{eqnarray*} \int_u^4~(-\frac{1}{6}x+a) ~dx \end{eqnarray*}$ -----> 2. Integral

Beim zweiten Integral musst du am Ende noch den Grenzwert für u ---> 1 bilden (Annäherung von rechts), da die entsprechende Teilfunktion nicht in x=1 definiert ist.

Beim ersten Integral ist die Bedingung $\begin{eqnarray*} f(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ für das Interval [0 ; 1] direkt ersichtlich.

Beim zweiten Integral wird man die Nichtnegativität im Nachhinein auch erkennen können.

Wenn f(x) eine Dichtefunktion sein soll, dann müssen sich die beiden Integralwerte zu 1 addieren.

Dadurch entsteht eine Gleichung, die du nach a auflösen kannst.

Auf geht's Freude

02.04.2021, 13:25

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie soll ich weiter vorgehen?

02.04.2021, 14:38

dichter

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Stammfunktionen sind nicht richtig.
Vermutlich multiplizierst du mit dem um 1 erhöhten Exponenten statt ihn zu dividieren.
Beachte, dass eine gültige Stammfunktion abgeleitet immer wieder die Ausgangsfunktion ergeben muss.

Und wie vorher schon gesagt darfst du formal nicht u=1 setzen, sonst hätte ich die Variable u ja gar nicht erst ins Spiel gebracht.

Rechne erstmal allgemein mit u und ganz am Ende nach dem Zusammenfassen lässt du den verbleibenden, von u abhängigen Term, via Grenzwertbetrachtung gegen 1 streben.

Es wird zwar dasselbe rauskommen, als hättest du direkt 1 als untere Integralgrenze gewählt, aber formal ist es nur so korrekt.

02.04.2021, 19:37

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} F1(x) = \frac{1}{4}x^2 = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F2(x) = - \frac{1}{12}x^2 +ax = \frac{16}{12} + 4a +\frac{1}{12}u^2 -au \end{eqnarray*}$

Besser ? Wie geht es weiter

02.04.2021, 20:34

dichter

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, etwas besser.

Ein Vorzeichenfehler ist noch drin, nämlich bei 16/12.

Und das Gleichsetzen von F(x) mit F(b) - F(a) geht formal so nicht.

Wenn dann z.B. so :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} F_1(x) = \frac{1}{4}x^2 \Rightarrow F_1(1)-F_1(0)= \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Wie es nach er Korrektur weitergeht, steht in meinen vorigen Beiträgen :

Zitat:

Rechne erstmal allgemein mit u und ganz am Ende nach dem Zusammenfassen lässt du den verbleibenden, von u abhängigen Term, via Grenzwertbetrachtung gegen 1 streben.

Zitat:

Wenn f(x) eine Dichtefunktion sein soll, dann müssen sich die beiden Integralwerte zu 1 addieren.

02.04.2021, 21:09

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} F2(x) = - \frac{1}{12}x^2 +ax = - \frac{16}{12} + 4a +\frac{1}{12}u^2 -au \end{eqnarray*}$

Wie soll ich das gegen 1 streben lassen ?
u = 1 setzen ?

Aber warum lässt man hier überhaupt gegen 1 streben ?
Verstehe nicht warum wir das machen ?

02.04.2021, 21:16

dichter

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Beim zweiten Integral musst du am Ende noch den Grenzwert für u ---> 1 bilden (Annäherung von rechts), da die entsprechende Teilfunktion nicht in x=1 definiert ist.

Ich werde jetzt aber nicht ständig Dinge, die ich schon erwähnt habe, immer wieder und wieder zitieren - aber das eine Mal von mir aus noch.

02.04.2021, 21:18

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} F2(x) = - \frac{1}{12}x^2 +ax = - \frac{16}{12} + 4a +\frac{1}{12} -a \end{eqnarray*}$

Das kommt raus ?

02.04.2021, 21:27

dichter

Auf diesen Beitrag antworten »

Das zweite Gleichheitszeichen ist - wie bereits erwähnt - Unsinn.

Wie es dann bei a) weitergeht, steht alles hier (sogar mit Kontroll-Lösung von mythos).

Wie es bei b), c) und d) weitergeht, habe ich auch schon angedeutet - da gibt es jeweils eine Formel für, welche du entweder in deinem Skript oder durch Googeln findest.
Das hat auch zunächst nichts mit mathematischen Fähigkeiten zu tun, du musst einfach nur konzentriert suchen. Wink

Das Benennen/Hinschreiben dieser Formeln soll nun deine Aufgabe sein - das werde ich nicht vorkauen.

02.04.2021, 21:31

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} F2(x) = - \frac{16}{12} + 4a +\frac{1}{12} -a \end{eqnarray*}$

Was ist daran falsch?

02.04.2021, 22:54

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Fast nichts! Nachdem die Grenzen bereits eingesetzt wurden, heißt die zweite Fläche nur F2, nicht F2(x)).
Rechne weiter, setze für F2 den Wert ein, welcher auch schon bekannt ist und löse nach a!

mY+

02.04.2021, 23:20

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} F2(x) = - \frac{16}{12} + 4a +\frac{1}{12} -a \end{eqnarray*}$
Das nach a auflösen ?

Was soll ich mit dem linken F2 machen ?

03.04.2021, 01:21

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch schon F1 berechnet, wie war das nochmals? Und du weißt auch, dass die Gesamtfläche gleich 1 sein soll! Somit ist auch F2 bekannt, was du nun auf der linken Seite einsetzen kannst.
Geht's jetzt?

mY+

03.04.2021, 10:55

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 1/4 - 1 = - \frac{16}{12} + 4a +\frac{1}{12} -a \end{eqnarray*}$

Meinst du es so ?

Also das nach a auflösen

03.04.2021, 13:08

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Fläche soll doch positiv sein! Wenn du 1/4 - 1 rechnest, ist sie das aber nicht ...
Sag' einmal, wie groß ist die Fläche F2 wirklich?

03.04.2021, 13:14

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

F2 = -1 ?

03.04.2021, 22:04

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir waren uns doch vorhin schon einig, dass die Fläche nicht negativ sein kann.
Wenn F1 + F2 = 1 und F1 = 1/4 ist, so ist die Berechnung von F2 eine "Milchmädchenrechnung"!
Nun?

03.04.2021, 23:13

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 1 = 1/4 - \frac{16}{12} + 4a +\frac{1}{12} -a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 = 3a \end{eqnarray*}$

a = 2/3

Das wars ?
Wie geht es bei der b) weiter ?

03.04.2021, 23:30

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Endlich. Wenigstens bist du beharrlich Augenzwinkern

Also lautet die 2. Abschnittsfunktion: $\begin{eqnarray*} f_2(x)= -\frac x 6 + \frac 2 3 \end{eqnarray*}$
So.
Nun geht es an das E(X). Das musst du für die beiden Teilflächen extra berechnen und diese beiden Resultate dann addieren.
Es ist nicht schwerer als das vorhin, denn es geht wieder mit den Integralen, diesmal sind diese leicht verändert. Hast du schon nachgesehen, wie hier der Erwartungswert berechnet wird?
Mache bitte mal einen Vorschlag!

mY+

03.04.2021, 23:34

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst eine andere Frage :
Wie kommst du auf das f2(x) ?

03.04.2021, 23:43

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Na, schaue doch mal in die Angabe: Dort steht die zweite Funktion als -(1/6)x + a und a ist eben 2/3

04.04.2021, 00:11

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah stimmt blöd Big Laugh

kannst du erklären wie ich auf den Erwartungswert jetzt komme ?
Bei der Theorie bin ich nicht so fit

04.04.2021, 00:27

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Theorie sollte dir eigentlich im Unterricht vermittelt worden sein; oder du siehst mal kurz im Netz nach.

--> https://www.mathebibel.de/erwartungswert

Ziehe dir das mal rein, es ist eh recht kurz und verständlich erklärt.
Nun, demnach gilt: $\begin{eqnarray*} \mu_x = E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot f(x) \dd x \end{eqnarray*}$

Wie du siehst, gilt das im gesamten reellen Bereich, also von -oo bis +oo (oo = unendlich), und zwar wegen der Definition ".. 0 sonst" in der Angabe.
In unserem Beispiel ist daher f(x) in den Bereichen -oo bis 0 und 4 bis +oo gleich Null (und das sind auch die Flächen dort).
Du hast also als Grenzen der beiden Integrale für f1(x): 0 und 1 bzw. für f2: 1 und 4 einzusetzen.

mY+

04.04.2021, 01:48

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

: $\begin{eqnarray*} E(X) = \int_{0}^{1} 1/2x^2d x =1/6x^3 \end{eqnarray*}$

Nach dem Grenzen eingesetzt kommt 1/6 raus.

Jetzt analog beim anderen?

04.04.2021, 01:54

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, richtig, nur weiter, trau dich! Augenzwinkern

04.04.2021, 02:48

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{4} \! -\frac{x^2}{6}+ \frac{2}{3}x \, dx = -\frac{x^3}{18} + \frac{2}{6} x^2 \end{eqnarray*}$

Grenzen :

- 64/18 + 32/6 + 1/18 -2/6 = 1.5

Das war die b) ?

Wie ist die Vorgehensweise bei c) ?

04.04.2021, 13:23

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn bei b) gefragt?
Siehe nochmals die Frage dort und beantworte sie bitte konkret und vollständig!
Du kannst nicht einfach irgendwelche Teilergebnisse hinwerfen!

Du sollst E(x) für den gesamten Bereich angeben! Das hast du bis jetzt noch nicht getan.
-----------

Und für c) mache bitte mal einen Ansatz mit jenem Wissen, das dir bekannt ist. Recherchiere doch auch ein wenig!
So ganz unbedarft wirst du wohl nicht an die Aufgabe herangehen können.

mY+

04.04.2021, 15:05

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Erwartungswert ist :

1/6 x^3 + 1.5 ?

04.04.2021, 15:33

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn das sein? Was macht das x hier?
Wie schon gesagt wurde, sollen die beiden bei f1 und f2 berechneten EW einfach zusammengezählt werden! Das funktioniert auf Grund der Linearität.

E(X1 + X2) = E(X1) + E(X2)

04.04.2021, 16:02

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

1.5+ 1/6 =
1.667
Das ist das E(x)?

04.04.2021, 18:59

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja! Warum sollte das nicht so sein? Wie vorhin eben erklärt.
----------

(c)
Auch dazu gibt es eine grundlegende Formel, so wie eben auch für E(x).
Und zwar erst mal für $\begin{eqnarray*} V(X) = \sigma^2 = ... \end{eqnarray*}$ . Sie baut auf den eben errechneten Erwartungswert µ auf.
Ein etwas anderer Zugang erfolgt über die Erwartungswerte und dem Verschiebungssatz, wobei du E(X²) = 7/2 schon vorgegeben hast und du dir daher einige Rechenarbeit ersparen kannst.

Kannst du dir mal überlegen, wie es nun weitergehen könnte?

mY+

04.04.2021, 19:32

New33

Auf diesen Beitrag antworten »

hmmm

$\begin{eqnarray*} 1,667^2 = \frac{7}{2} \end{eqnarray*}$

Aber ich brauche das V(x) ? Big Laugh

12 nächste Seite »

Neue Frage »

Antworten »

Dichtefunktion einer stetig verteilten Zufallsvariablen

Verwandte Themen