DGL und Taylor |
01.04.2021, 10:52 | Ahnungslos 2021 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
DGL und Taylor Hallo Freunde des Wissens, kom bei folgender Aufgabe nicht weiter. Bestimmen sie die Funktion y(t), die für y >=0 die DGL Sinh(y)*dy/dt-2t*cosh(y)+t=0 erfüllt. Die Anfangsbedingungen sei y(0)=0 a) Klassifizieren sind die Differenzialgleichung b) die Anfangsbedingungen sichert das für kleine Zeiten t auch y(t) klein ist weswegen man für t<<0 eine Approximative Lösung durch Reihenentwicklung finden kann. entwickeln Sie dazu die hyperbolischen Funktion bis zur 2. Ordnung in y und lösen sie die entstehende DGL c) berechnen Sie die exakte Lösung der Differenzialgleichung mitgegeben anfangsbedingungen Hinweis: es reicht aus wenn Sie die Lösung für cosh(y(t)) angeben Wie fängt man den bei der an? Meine Ideen: Meine Ansätze waren 1. dy/dt=y'=(2t*cosh(y)-t)/sinh(y) Doch dann weiß ich schon nicht weiter da ja y von t abhängig ist. Oder ist es egal wegen der anfangsbedingung? Also Taylor schaffe ich aber dann die exakte Lösung der dgl schaffe ich nicht 2. Trennung der Variablen Sinh(y)/(2*cosh(y)-1)*dy=t*dt Dann integrieren beide seiten ln(2*cosh(y)-1)/2 = 1/2t^2+c Doch dann komm ich auch nicht viel weiter, da ich ja garkein y frei bekomme also wird es das auch nicht sein 3. Ich denke das ist eher falsch aber nahja mal sehen y runterschubsen und den diffentialoperator auf sinh(y) anwenden Und da es ja eigentlich sinh(y(t)) ist kettenregel Komm ich nach dem umstellen auf y'= 2t-t/cosh(y) |
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01.04.2021, 11:47 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: DGL und Taylor
Hm, einen Fehler kann ich da jetzt nicht erkennen. Und bei der Auflösung der Gleichung nach y sehe ich jetzt auch kein großes Problem. |
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01.04.2021, 11:54 | gast_free | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: DGL und Taylor Gegeben: Formel (1) Probe: Formel (2) Vergleiche Formel (1) mit Formel (2) Q.E.D. |
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01.04.2021, 14:03 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: DGL und Taylor
Und was ist mit der Lösung |
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01.04.2021, 14:35 | gast_free | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: DGL und Taylor
Die ist auch gültig aber wurde nicht überprüft. Das negative Vorzeichen bleibt bei der Ableitung erhalten. Beide negative Vorzeichen heben sich im Produkt auf. Das Quadrat der Lösungsfunktion ist auch immer positiv sofern y reell ist. P.S. Wo ist "Ahnungslos 2021" verblieben? |
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01.04.2021, 15:05 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: DGL und Taylor
Das weiß ich. Ich wollte darauf hinaus, wenn man schon eine Komplettlösung liefert (was man nach den Boardprinzipien Prinzip "Mathe online verstehen!" nicht sollte), dann sollte sie auch wirklich vollständig sein. |
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01.04.2021, 15:31 | gast_free | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: DGL und Taylor Ich glaube verstanden zu haben. |
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01.04.2021, 15:47 | Ahnungslos2021 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Musste leider schnell los, die schönen Feiertage. Erstmal danke für eure rege Beteiligung Besondere Dank geht an gast_fee für die viele Mühe. Soweit das meiste verstanden und es ist sehr gut nachvollziehbar bloß noch wenige Fragen: Ich muss also bei so etwas immer die Funktionen einzeln das Taylorpolynom aufstellen. Ich dachte immer an der gesamten Funktion. Oder ist es nur hier so weil es in der Aufgabe steht? Und warum hast du das mit dem w und dem v gemacht? Damit du weißt wo du ableiten musst? Bzw ein Taylorpolynom bilden musst und was weg fällt? Oder hat das noch einen anderen Grund? Und warum kann man sinh und cosh normal ableiten muss man nicht die kettenregel benutzen da y durchgehend von t abhängig ist? Frohes Osterfest euch allen. |
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01.04.2021, 18:53 | Ahnungslos2021 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Und die DGL Kann ich die über die Trennung der Variablen machen? ln(2*cosh(y)-1)/2 =( 1/2)t^2+c ----> hieraus das c errechnen in dem ich y(0)=0 benutze komm ich auf c=0 2*cosh(y)-1=e^(t^2+c) Cosh(y)=(exp(t^2+2C))/2+1/2 Bin ich soweit richtig? |
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02.04.2021, 12:19 | gast_free | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Yepp. Aber zuerst die Näherungen entwickeln und einsetzen.
Näherung nach Taylor. Abbruch zweites Glied! Stumpf in die Dgl. einsetzen genauso wie die Näherung für Dann Trennung der Variablen durchführen und Dgl. lösen.
Soweit ich das sehe eher nicht. Zuerst die transzendenten Funktionen sinh(y) und cosh(y) durch Näherungen ersetzen. Dann erst die Trennung der Variablen durchführen. Der Hinweis y(0)=0 galt nur für die Tauglichkeit der Approximation. Schau Dir meine Herleitung Schritt für Schritt an. Frage gerne nach, wenn Du an einem Punkt hängen bleibst.Die Abkürzungen w und v sind nur Hilfsvariablen für die Taylorreihen. |
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02.04.2021, 12:44 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein! Hier bezieht sich der Fragesteller doch offensichtlich auf Teil c) der Aufgabe:
Da ist eben nicht der Anfang der Taylorreihe zu verwenden. |
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03.04.2021, 19:13 | gast_free | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Huggy hat wohl wieder Recht. Wer lesen kann ist klar im Vorteil. Also Teil C. Zitat: "c) berechnen Sie die exakte Lösung der Differenzialgleichung mitgegeben anfangsbedingungen Hinweis: es reicht aus wenn Sie die Lösung für cosh(y(t)) angeben" Für mich ist das jetzt auch nicht klar. Ich hasse unklare Aufgabenstellungen. Ich vermute jedoch, das der sinh durch cosh ersetzt werden soll. Wie könnte man das anstellen? Meine erste Idee: somit Daraus würde: Wenn man frech ist und die angegebenen Anfangsbedingungen berücksichtigt könnte man argumentieren: Also: Versuchen wir es wieder mit Variablentrennung. bzw. Wie bereits geschrieben. Keine Ahnung ob so etwas gemeint war. Aus der Lösung ergebe sich eine transzendente Gleichung die nach y(t) aufzulösen währe. Die Integrale lassen sich auf saubere Stammfunktionen zurück führen. |
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04.04.2021, 09:20 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hoffentlich hat dich gast_free nicht zu sehr verwirrt. Das ist vollkommen richtig! Nach Umstellung auf ist c) gelöst. Wenn man das noch in die Form bringen möchte (was nicht gefordert ist), muss man beachten, dass der nicht eindeutig umkehrbar ist. Es ergeben sich zwei Lösungen, die beide die DGL und die Anfangsbedingung erfüllen. Diese unterscheiden sich nur im Vorzeichen |
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06.04.2021, 14:47 | Ahnungslos2021 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Erstmal danke an alle war leider über die Feiertage zu abgelenkt um mich wirklich zu konzentrieren Hat mir sehr geholfen hier danke Ist es immer so dass man bei taylorpolynom immer nur einzeln die Funktion nehmen und aufstellen muss? Hier den cosh und sinh Oder liegt es an der Aufgaben Stellung? |
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06.04.2021, 16:19 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na, von kannst du ja kein Taylorpolynom bilden, weil die zunächst unbekannte Lösung der DGL ist. Und die explizite Abhängigkeit der DGL von passt auch nicht in das Taylorpolynom, das als Funktion gebildet wird. |
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