Grenzwert unendlicher Reihen

08.09.2004, 11:01	Blue Thunder	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert unendlicher Reihen Hallo alle miteinander, ich erfreue mich schon seit einiger Zeit an diesem Forum als Leser und hätte jetzt auch gleich mal eine wahrscheinlich simple Frage: Ich bin mir bei unendlichen Reihen nicht mehr klar, wie ich den Grenzwert berechne, kann mir da jemand auf die Sprünge helfen? Sagen wir ich habe folgende unendliche Reihe: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty~ \frac{(-3)^{k}}{\sqrt{11^{k}}} \end{eqnarray}$ Wie komme ich da jetzt auf den Grenzwert, da ich ja nach dem Quotientenkriterium weiß, dass diese Reihe konvergiert? Danke schonmal für eure Hilfe, Grüße BlueThunder
08.09.2004, 11:07	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, dies ist eine sogenannte geometrische Reihe. Das sind die Reihen de Form $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^{\infty} q^i \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \|q\| < 1 \end{eqnarray}$ Der Grenzwert ist immer $\begin{eqnarray} \frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ . Gruß MisterSeaman
08.09.2004, 11:35	Blue Thunder	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir für deine schnelle Antwort, nur mal so als Frage, wie berechne ich denn den grenwert unendlicher reihen, wenn es keine geometrische reihe ist? ich schätze mal so was gibt es wohl?!? Danke für die Hilfe, Blue Thunder
08.09.2004, 13:19	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist recht schwierig da die geometrische Reihe imho die einfachste ist. Es gibt noch weitere Reihenwerte wie $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~ \frac{1}{n!} = e \end{eqnarray}$ Es gibt da noch mehr mir fallen sie jetzt nur nicht ein :P Denk dran eine Reihe besitzt nur einen Grenzwert wenn sie auch konvergiert. Im Zweifelsfalle sollte man sich also erstmal informieren ob die Reihe überhaupt konvergiert.
08.09.2004, 13:40	Philipp-ER	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Es gibt da noch so Dinge wie $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty}(k+1)\cdot x^{k}=\frac{1}{(1-x)^2} \end{eqnarray}$ für \|x\|<1. Also zum Beispiel $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{k+1}{2^{k}}=4 \end{eqnarray}$ Wenn du ein bisschen was zu Potenzreihen weißt, sollte es dir ein Leichtes sein, die 1. Formel zu beweisen und viele weitere, ähnliche Identitäten zu gewinnen.
08.09.2004, 14:20	Blue Thunder	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt, wenn eine unendliche Reihe nicht geometrisch ist, dann kenne ich entweder eine äquivalente Aussage, die mir den Grenzwert liefert, oder ich habe nichts in der Hand? Wie kann ich mir denn solch eine Aussage bilden, so dass sie auch paßt? Ich weiß ja wie ich beweisen kann, dass die beiden Aussagen äquivalent sind, aber wie erstelle ich mir sowas, falls ich eine unendliche Reihe mal nicht kenne?
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08.09.2004, 15:27	MisterSeaman	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, das kann man so allgemein nicht sagen. Normalerweise muss man sich was zurechtbasteln - was aber bei vielen Reihen nicht gerade einfach ist. Eine "Faustregel" gibt es dafür nicht. Gruß MisterSeaman

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