Maximale Dimension einer Matrix

02.04.2021, 10:10	MMchen60	Auf diesen Beitrag antworten »
Maximale Dimension einer Matrix Hallo liebe Gemeinde, gegeben ist wiederum die Matrix wie in meinen anderen beiden Threads: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -3 & -3 & -p^2 & 2p \\ 0 & 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 2p^2-8 & 2p+4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Jetzt geht es um verschiedene Dimensionen der Lösungsmengen. 1. Frage: Geben Sie $\begin{eqnarray} d_{max} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} d_{max} \{dim \mathbb{L}_p \| p \in \mathbb{R} \} \end{eqnarray}$ , also das Maximum von $\begin{eqnarray} dim \mathbb{L}_p \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ an. Ich habe folgende Lösung: Die Dimension einer Lösungsmenge ergibt sich aus: $\begin{eqnarray} dim \mathbb{L}_p=n-rang(A_p) \end{eqnarray}$ n ist Anzahl der Spalten ==> n=4 Der Rang von $\begin{eqnarray} (A_p\|b_p) \end{eqnarray}$ kann minimal 2 werden, für den Fall p=-2. Somit ist die maximale Dimension des Lösungsraums $\begin{eqnarray} d_{max} \{dim \mathbb{L}_{-2}\}=4-2=2 \end{eqnarray}$ Habe ich da richtig gedacht?
02.04.2021, 12:33	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Prinzip ja, allerdings ist die Frage nicht präzise genug gestellt. Die Lösungsmenge eines homogenen LGS ist ein Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb L \end{eqnarray}$ der Dimension $\begin{eqnarray} n-rg(A) \end{eqnarray}$ . Die Lösungsmenge eines inhomogenen LGS ist kein Vektorraum, sondern eine Nebenklasse $\begin{eqnarray} x_0+\mathbb L \end{eqnarray}$ mit einer speziellen Lösung $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ ; eine Menge hat keine Dimension, aber wenn wir ganz großzügig sind, können wir auch in diesem Fall die Dimension von $\begin{eqnarray} \mathbb L \end{eqnarray}$ als Dimension der Lösungsmenge bezeichnen.

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