Beweis für den Integralsatz von Cauchy

02.04.2021, 11:56

gast_free

Beweis für den Integralsatz von Cauchy

Meine Frage:
Beweise den Integralsatz von Cauchy:

Die folgende Funktion sei gegeben:
$\begin{eqnarray*} f(z(x,y))=u(x,y)+i\cdot v(x,y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C; x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Die Funktion hat die folgenden Eigenschaften.
$\begin{eqnarray*} u_x(x,y)=v_y(x,y); u_y(x,y)=-v_x(x,y) \end{eqnarray*}$
Sie ist also holomorph.

Gegeben ist weiterhin eine geschlossene Kurve $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ in einem zusammenhängenden Gebiet
$\begin{eqnarray*} G \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$

Ein geschlossenes Kurvenintegral besitzt für solche Funktionen immer den Wert Null.
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} f(z) dz =0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
1. Zerlegen der Kurve in Realteil und Imaginärteil.
$\begin{eqnarray*} \gamma=\Re\{\gamma(x,y)\}+i \Im\{\gamma(x,y)\} \end{eqnarray*}$

2. Kurve Parametrisieren.
$\begin{eqnarray*} \gamma(t)=\Re\{\gamma(t)\}+i \Im\{\gamma(t)\} \end{eqnarray*}$

3. Kurve Ableiten.
$\begin{eqnarray*} \dot \gamma(t)=\Re\{\dot \gamma(t)\}+i \Im\{\dot \gamma(t)\} \end{eqnarray*}$

4. Bilden des Integranden durch Ausmultiplizieren.

$\begin{eqnarray*} I(t)=[u(x,y)+i\cdot v(x,y)]\cdot[\Re\{\dot \gamma(t)\}+i \Im\{\dot \gamma(t)\}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I(t)=u(x,y)\cdot \Re\{\dot \gamma(t)\}-v(x,y)\cdot \Im\{\dot \gamma(t)\} +i\cdot [u(x,y)\cdot \Im\{\dot \gamma(t)\}+v(x,y)\cdot \Re\{\dot \gamma(t)\}] \end{eqnarray*}$

5. Kurvenfunktion umschreiben.
$\begin{eqnarray*} \Re\{\dot \gamma(t)\}=\dot x(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Im\{\dot \gamma(t)\}=\dot y(t) \end{eqnarray*}$

6. Integrand umformulieren.
$\begin{eqnarray*} I(t)=u(x,y)\cdot \dot x(t)-v(x,y)\cdot \dot y(t) +i\cdot [u(x,y)\cdot \dot y(t)+v(x,y)\cdot \dot x(t)] \end{eqnarray*}$

7. Integrale.
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} I(t) dt=\int_{t_1}^{t_2}[u(x,y)\cdot \dot x(t)-v(x,y)\cdot \dot y(t)]dt + i \int_{t_1}^{t_2}[u(x,y)\cdot \dot y(t)+v(x,y)\cdot \dot x(t)]dt \end{eqnarray*}$

8. Integrale aufspalten und dt eleminieren.
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} I(t) dt=\int_{\gamma}u(x,y)\cdot dx- \int_{\gamma}v(x,y)\cdot dy + i \int_{\gamma}u(x,y)\cdot dy+i\int_{\gamma}v(x,y)\cdot dx \end{eqnarray*}$

9a. Forderungen.
$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma}u(x,y)\cdot dx- \int_{\gamma}v(x,y)\cdot dy=0 \end{eqnarray*}$

und 9b

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma}u(x,y)\cdot dy+\int_{\gamma}v(x,y)\cdot dx=0 \end{eqnarray*}$

9a. Nach x und dann nach y Ableiten.
$\begin{eqnarray*} u_y(x,y)=v_x(x,y) \end{eqnarray*}$

9b. Nach y und dann nach x Ableiten.
$\begin{eqnarray*} u_x(x,y)=-v_y(x,y) \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich genau das, was ich nicht haben wollte. Wo steckt der Fehler?

04.04.2021, 11:39

gast_free

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RE: Beweis für den Integralsatz von Cauchy
Noch mal die folgende Frage an Euch mit einer Bitte um eine ehrliche Antwort. War jetzt diese Frage zu unterirdisch? Ich kann mir nicht vorstellen das hier keiner diesen Integralsatz beweisen kann. Ich habe noch mal weiter gestöbert und habe einen Beweis gefunden, der über den Integralsatz von Gauß läuft. HIer bin ich etwas überrschat, das Sätze aus der Vektoranalysis auf die komplexe Funktionen einfach übertragen werden. Nach meiner bisherigen Ansicht sind ja komplexe Zahlen keine Vektoren. Man kann z.B. durch komplexe Zahlen dividieren und durch Vektoren nicht.

Also der Beweis unter Vernachlässigung meiner Zweifel sieht dann so aus.

$\begin{eqnarray*} f(z)=u(x,y)+i\cdot v(x,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{\gamma} f(z) dz=\iint_{A} \nabla f(z) dA=\iint_{A} [u_x-v_y] dxdy+i\cdot \iint_{A} [u_y+v_x] dxdy=0 \end{eqnarray*}$

Der Ausdruck wird nur dann sicher Null, wenn:
$\begin{eqnarray*} u_x(x,y)=v_y(x,y) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} u_y(x,y)=-v_x(x,y) \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig dargestellt? Wieso kann man die Sätze aus der Vektoranalysis für 2D auf die Funktionentheorie anwenden?

04.04.2021, 12:55

Huggy

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RE: Beweis für den Integralsatz von Cauchy

Zitat:

Original von gast_free
Noch mal die folgende Frage an Euch mit einer Bitte um eine ehrliche Antwort. War jetzt diese Frage zu unterirdisch? Ich kann mir nicht vorstellen das hier keiner diesen Integralsatz beweisen kann. Ich habe noch mal weiter gestöbert und habe einen Beweis gefunden, der über den Integralsatz von Gauß läuft. das Sätze aus der Vektoranalysis auf die komplexe Funktionen einfach übertragen werden. Nach meiner bisherigen Ansicht sind ja komplexe Zahlen keine Vektoren. Man kann z.B. durch komplexe Zahlen dividieren und durch Vektoren nicht.

Beweise des Integralsatzes von Cauchy findet man in jedem Lehrbuch der Funktionentheorie und in beliebiger Menge im Internet. Weshalb also sollte sich jemand die Mühe machen, für dich einen dieser Beweise abzuschreiben.

Wenn man den Satz über den Satz von Gauß oder den Satz von Stokes beweist, wird ja zuerst das komplexe Integral auf zwei reelle Integrale zurückgeführt. Danach kann man natürlich alle Sätze aus der reellen Analysis verwenden.

04.04.2021, 17:17

gast_free

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RE: Beweis für den Integralsatz von Cauchy
Danke für die Antwort. Ich verstehe sie dennoch nicht. Vom Wissen hinke ich Dir um Lichtjahre hinterher. Im Fall der Anwendung des Satzes von Gauß muss man auf komplexe Funktionen die vektoranalytische Operation Divergenz anwenden. Hier wird sie auf ein Zeigerfeld angewendet. Die Zeiger haben ganz andere Eigenschaften als Vektoren. So habe ich das mal vor mehr als vierzig Jahren in meiner profanen Ing. Ausbildung gelernt. Mag ja sein das es falsch ist. Das man anschließend mit den reellen Funktion und Integralen normal weiter arbeiten kann ist klar. Beim bilden der Divergenz werden die beiden reellen Funktionen u,v wobei v die imaginäre Einheit mit sich schleppt wieder verknüpft.

$\begin{eqnarray*} \vec \nabla z(x,y)=\vec \nabla [u(x,y)+iv(x,y)]=u_x(x,y)+i v_x(x,y)+i u_y(x,y)-v_y(x,y) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec \nabla z(x,y)=\vec \nabla [u(x,y)+iv(x,y)]=u_x(x,y)-v_y(x,y)+i [v_x(x,y)+iu_y(x,y)] \end{eqnarray*}$

Ich habe mit eine Reihe von Beweisen in diversen Skripten angeschaut. Unter anderem in einem Mathematikskript der Universität Hamburg. Mit den darin enthaltenen Argumenten bin ich überhaupt nicht klar gekommen. Für mich sind sie nicht nachvollziehbar. Ich will nicht behaupten das sie falsch sind. Dafür fehlt mir Hintergrundwissen. Auf der anderen Seite bin ich auch nicht bereit alles zu glauben.

Ich setze mal einen Link für das Skript der Uni Hamburg. Uni-Hamburg Beweis Integralsatz von Cauchy.

Ich nehme es jetzt so hin mit einem Fragezeichen im Hinterkopf und versuche mit dem Residuenkalkül auseinander zu setzen.

04.04.2021, 18:23

Huggy

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RE: Beweis für den Integralsatz von Cauchy

Zitat:

Original von gast_free
Im Fall der Anwendung des Satzes von Gauß muss man auf komplexe Funktionen die vektoranalytische Operation Divergenz anwenden. Hier wird sie auf ein Zeigerfeld angewendet. Die Zeiger haben ganz andere Eigenschaften als Vektoren.

$\begin{eqnarray*} u(x,y) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x,y) \end{eqnarray*}$ sind reelle Funktionen. Niemand kann einem daher verbieten, $\begin{eqnarray*} (u(x,y),v(x,y) \end{eqnarray*}$ ) als reelles Vektorfeld im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ zu betrachten. Das wird in deinem Link auf den ersten beiden Folien gemacht.

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