Spiegelung am Kreis

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tim_m Auf diesen Beitrag antworten »
Spiegelung am Kreis
Meine Frage:
Servus,

ich möchte zeigen, dass die Spiegelung am Kreis unabhängig von Translationen und Streckungen ist und ich deshalb o.B.d.A. den Einheitskreis annehmen kann. Hat jemand eine Idee hierfür?

LG und frohe Ostern
Tim




Meine Ideen:
Bin für jeden Hinweis dankbar!
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Wie ist denn "unabhängig" zu verstehen?
tim_m Auf diesen Beitrag antworten »

Dass der Inversionskreis keinen Einfluss auf die Abbildung hat.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Spiegelung an einem Kreis mit Mittelpunkt im Koordinatenursprung ist beschrieben durch



wobei der Radius des Kreises ist. Mit ist der Ortsvektor des Punktes gemeint, welcher der Spiegelung unterzogen wird.

Liegt der Mittelpunkt nicht im Koordinatenursprung, sondern im Punkt , müssen wir das Koordinatensystem erst um verschieben, so dass der Mittelpunkt danach im Koordinatenursprung liegt. Nach der Spiegelung schieben wir dann wieder zurück. Anders betrachtet lassen wir das Koordinatensystem fest und schieben den Punkt um , führen die Spiegelung aus, und schieben danach zurück. Das macht



Man kann nachrechnen, d.h. ist involutorisch (ihre eigene Umkehrabbildung), kurz .

Angenommen, wir haben nun zwei Spiegelungen , und es spielt keine Rolle welche wir nehmen, dann müsste



bzw.



für jede beliebige Abbildung sein. Solange jeweils kein Argument der jeweiligen Spiegelung im Mittelpunkt des Kreises liegt, versteht sich.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein klappt das nicht. Ich möchte mal für ein Gegenbeispiel kurz komplexe Zahlen als Vektoren benutzen. Dort gilt



womit sich der Schreibaufwand reduziert. Es genügt, ein Beispiel zu finden, wo die Differenz



nicht konstant null ist. Betrachten wir einfach







Der Graph der Differenz:

[attach]52953[/attach]

Der Graph müsste durchgängig schwarz sein.
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

Es würde gehen, wenn die Kreise denselben Mittelpunkt besitzen und eine lineare Abbildung ist.

Legen wir den Mittelpunkt in den Koordinatenursprung. Sei nun







Betrachten wir nun nochmals die Gleichung









Wir rechnen aus:



Die Umkehrabbildung ist dann



Ist nun eine lineare Abbildung, dann bekommt man

 
 
tim_m Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal vielen Dank! Mit so viel Input hätte ich gar nicht gerechnet. Das ist ja Wahnsinn!


Ich möchte in meiner Betrachtung die komplexen Zahlen ausschließen. Eine Frage hätte ich. Wir gehen ja vom Einheitskreis aus. Wieso setzt du R nicht gleich 1 in deinem ersten Beitrag?

Wir fangen ja mit einer Translation um -M an, spiegeln dann am Einheitskreis, strekcken um einen Faktor und verschieben dann wieder um M oder?
Finn_ Auf diesen Beitrag antworten »

In meinem ersten Beitrag habe ich allgemeine Kreisspiegelungen betrachtet. Meine Überlegung war: Wenn du eine Kreisspiegelung machst, mit dem Ergebnis etwas tust, und schließlich die Kreisspiegelung rückgängig machst, ist es dann egal, welche Kreisspiegelung du nimmst? Die Antwort ist nein.

Die komplexen Zahlen braucht es eigentlich auch nicht, denn es gibt ja diese direkte Entsprechung, das ist







Die umständliche Berechnung würde ich lieber vom Computer ausführen lassen, bspw. so:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
from numpy import array as vector
from numpy.linalg import norm

def Spiegelung(R, a):
    def S(x):
        return R*R*(x-a)/norm(x-a) + a
    return S

S1 = Spiegelung(R = 1, a = vector([1, 0]))
S2 = Spiegelung(R = 1, a = vector([0, 1]))

def T(x):
    return x + vector([1, 0])

def Delta(x):
    return S1(T(S1(x))) - S2(T(S2(x)))

print(Delta(vector([2, 0])))
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