Folgen und Reihen & Primfaktorzerlegung

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hihi00 Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen und Reihen & Primfaktorzerlegung
Meine Frage:
a)
Zwei unterschiedliche Folgen (a_n) und (b_n) ganzer Zahlen sind gegeben durch:
a_1 = p, a_2 = q und a_n+2 = a_n+1 ? a_n (n > 0)
bzw.
b_1 = p, b_2 = q und b_n+2 = b_n ? b_n+1 (n > 0) .
i) Es sei p = 1 und q = 4. Geben Sie die Folgenglieder a_1 bis a_8 an.
ii) Eine Zahlenfolge (x_n) heißt periodisch, wenn es eine positive ganze Zahl k so gibt, dass für
jedes Folgenglied x_n die Beziehung x_n = x_n+k gilt. Die Periodenlänge einer periodischen
Folge (xn) ist definiert als die kleinste positive ganze Zahl k für die das gilt.
Weisen Sie nach, dass die Folge (a_n) für egal welche Startwerte p und q periodisch ist,
und berechnen Sie alle für (a_n) möglichen Periodenlängen.

b)
Man untersucht Folgen (a_n) natürlicher Zahlen, die für Startwerte p, q ? N durch die Bildungsvorschrift:
a_1 = p, a_2 = q und a_n+2 = a_n · a_n+1 (n ? 1)bestimmt sind.
i) Geben Sie für p = 3 und q = 2 die Folgenglieder a_1 bis a_6 an.

Es seien nun die Startwerte p und q zwei voneinander verschiedene Primzahlen (beliebig).
ii) Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegung von a_1 bis a_12.
iii) Weisen Sie nach, dass kein Folgenglied a_n eine Quadratzahl sein kann.



Meine Ideen:
Hi, hier ein paar ziemlich knifflige Aufgabe, vll kann mir ja jemand helfen?

zu a)
i) die dürfte noch einfach sein, die Folge lautet: 1, 4, 3, -1, -4, -3, 1, 4 und ist somit periodisch mit Periodenlänge k=6 (komischerweise braucht man b_n hier ja gar nicht...)
ii) Hier habe ich keine richtige Beweisidee, für den zweiten Teil würde sich ja evtl. eine Fallunterscheidung zwischen p<q, p=q oder p>q oder so ähnlich anbieten, oder?

zu b)
i) Die Folge dürfte lauten: 3, 2, 6, 12, 72, 864 (so ähnlich wie die Fibonacci-Folge nur mit dem Produkt statt mit Addition)
ii) hierfür habe ich die Folge erstmal allgemein berechnet: p, q, p*q, p*q^2, p^2*q^2, ...., p^9*q^10, heißt sie ist ja immer schon in Primzahlen zwerlegt. Wie kann man jetzt zeigen, dass man die Folgenglieder nicht zu z.B. kleinere Primzahlen zerlegen kann?
iii) Hier weiß ich gar keinen Ansatz...
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen und Reihen & Primfaktorzerlegung
Deinen Antworten nach geht es um die Folge mit

i) richtig, es geht nur um die Berechnung der ersten 8 Glieder der Folge .

ii) Mach das, was Du in i) gemacht hast mal mit den allgemeinen Angaben und Du wirst erstaunliches feststellen.

b)
i) Wieder geht es nur um die Berechnung der ersten sechs Glieder.
ii) Hier ist doch gar kein Beweis gefragt, sondern nur die Primfaktorzerlegung der einzelnen Glieder.
iii) Welche Darstellung hat die Primfaktorzerlegung einer Quadratzahl. Zeige, dass eine solche Form nie auftreten kann.
hihi00 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen und Reihen & Primfaktorzerlegung
Oh super Helferlein für deine Hilfe Augenzwinkern

a) ii) hier kommt ja dann p, q, q-p, -p, -q, p-q, p, q, ... heraus, also genau das gleich wie bei ii)
kann man dann hieraus schließen, dass die Folge a_n periodisch für beliebige p, q ist und, dass die Periodenlänge unanhängig von den Variablen immer =6 ist?

b) ii) Wie meinst du das hier genau? Die einzelnen Glieder werden ja immer schon aus den Primzahlen p und q gebildet, wie soll ich dann noch eine andere Zerlegung finden?
iii) hier weiß ich leider nicht genau, worauf du hinaus möchtest?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen und Reihen & Primfaktorzerlegung
Zitat:
Original von hihi00
kann man dann hieraus schließen, dass die Folge a_n periodisch für beliebige p, q ist und, dass die Periodenlänge unanhängig von den Variablen immer =6 ist?

Kann man nicht. Du hast nur nachgewiesen, dass die Periodenlänge kleiner gleich sechs sein muss.
Du müsstest Dir nun noch überlegen, ob sich für bestimmte Werte vielleicht schon früher eine Wiederholung einstellt.

Zu b) ii) Es ist nach der Primfaktorzerlegung der einzelnen Folgeglieder gefragt. Du hast eine Zerlegung vorgenommen. Die Frage ist nun: Ist das die Primfaktorzerlegung, oder sieht die eventuell anders aus?
Du sagst ja selber, dass Du darüber nachdenkst, ob es kleinere Primfaktoren geben könnte.
In diesem Zusammenhang stellt sich natürlich die Frage, was Du über die Existenz und Eindeutigkeit einer Primfaktorzerlegungen im Allgemeinen weisst.

Zu b) iii) Dann schau Dir doch mal ein paar Primfaktorzerlegungen von Quadratzahlen wie z.B. 4,16,49,100 an und vergleiche das mit der Zerlegung von z.B. 5,20 oder 33. Da fällt Dir bestimmt etwas auf.
hihi00 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen und Reihen & Primfaktorzerlegung
aii)Ach so...
als die Periodenlänge kann auf jeden Fall schon mal 1 sein, falls p und q = 0 sind.
Für p=q ist die Länge auch 6 und ansonsten finde ich spontan auch keine weiteren Fälle..
Habe von der Folge p, q, q-p, -p, -q, p-q, p, q... auch versucht einzelne aufeinanderfolgende Glieder gleichzusetzen, trotzdem bekomme ich immer eine Länge von 6 heraus...

bii)
Hier existiert ja bspw. der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung:

Jedes n >= 2 lässt sich eindeutig schreiben in der Form n &#8200;=&#8200; p1^e1 * ...*pk^ek,
mit Primzahlen p1 < … < pk, k >= 1, und Exponenten ei >= 1.

Hieraus müsste ja dann folgen, dass meine Zerlegung, welche ich gefunden habe, eindeutig ist und sich das Ganze nicht weiter zerlegen lässt und die Aufgabe ist fertig?!

biii) Könnte man hier argumentieren, dass bei der Primfaktorzerlegung von Quadratzahlen die einzelnen Primzahlen immer den gleichen Exponenten haben müssen, was bei der Aufgabe hier ja nicht der Fall ist?
Und gibt es einen dementsprechenden Satz?
hihi00 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen und Reihen & Primfaktorzerlegung
Bei bii) meine ich natürlich

Jedes n größer gleich 2 lässt sich eindeutig schreiben in der Form n=p1^e1 * ...*pk^ek,
mit Primzahlen p1 < … < pk, k größer gleich 1, und Exponenten ei größer gleich 1.
 
 
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen und Reihen & Primfaktorzerlegung
Ich würde so vorgehen:

Angenommen die Periodenlänge wäre
2, dann gilt und
3, dann gilt und und
4, dann gilt ...
5, dann gilt ...

Führe die einzelnen Fälle zu einem Widerspruch und Du hast deinen Beweis.

bii)
Zitat:
Hieraus müsste ja dann folgen, dass meine Zerlegung, welche ich gefunden habe, eindeutig ist und sich das Ganze nicht weiter zerlegen lässt und die Aufgabe ist fertig?!

Genau.

Zitat:
biii)Und gibt es einen dementsprechenden Satz?

Ich würde dieser Aussage nicht unbedingt einen ganzen Satz widmen, da es einfach nur eine Folgerung aus der Primfaktorzerlegung ist.
hihi00 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen und Reihen & Primfaktorzerlegung
Vielen Dank für deine tolle Hilfe!

aii) Verstehe ich das aber richtig, dass meine Annahmen hier richtig waren, ich das mit dem Gleichstellen aber einfach nur nochmal konkret zeigen kann?

biii) Also müssen die Exponenten der Primfaktoren hier immer ein Vielfaches der 2 sein, wenn ich das richtig verstehe, woraus der Widerspruch folgt?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

aii) Wenn Du es nicht beweist, könntest Du genau so gut raten und das ist nicht sehr mathematisch.

biii) ja, es müsste gezeigt werden, dass kein Folgeglied mit ausschließlich geraden Exponenten in der Primfaktorzerlegung vorliegen kann.
hihi00 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok gut, bei der biii) habe ich das ja dann auch eigentlich schon gezeigt, da die einzelnen Zerlegungen immer eindeutig sind und dabei immer entweder p oder q einen ungeraden Exponenten haben, oder?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Sagen wir mal so: Ich würde deine Berechnung noch einmal ko trollieren. Da ist nämlich mindestens ein Fehler drin.
Hinzu kommt, dass dieser Aufgabenteil nicht mehr auf die ersten 12 Folgeglieder beschränkt ist. Es muss für jedes n gelten.
Hierfür könnte man versuchen eine explizite Darstellung zu finden oder evtl. Induktion heranziehen.
hihi00 Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich muss es p^2*q^3 im 5. Schritt heißen Augenzwinkern
Beim Versuch, eine explizite Darstellung zu finden, bin ich bisher aber leider gescheitert, ab Schritt 4 wäre das ja relativ einfach, aber die ersten 3 Schritte haben es doch ziemlich in sich...

Für die Induktion könnte man ja annehmen, dass das Ganze für n gelte (also a_n+2 = a_n * a_n+1) und es für n+1 untersuchen, also muss man beweisen, dass a_n+3 = a_n+1 * a_n+2 keine Quadratzahl ist (da ich es für n=1 bis n=12 ja schon nachgewiesen habe), oder?
Umformen ergibt: a_n+3 = a_n+1 * a_n * a_n+1 = a_n * a_n+1^2 (also wieder unterschiedliche Exponenten)
--> könnte man dann hieraus schon die Behauptung bekommen, wenn man ja weiß, dass wieder unterschiedliche Exponenten vorliegen?
hihi09 Auf diesen Beitrag antworten »

und hab vergessen zu ergänzen, dass der Exponent von q der Fibonaccifolge entspricht smile
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast schon richtig erkannt, dass die Fibonaccifolge eine Rolle spielt. Es ist für
Dabei ist das n-te Folgeglied der Fibonaccifolge.

Eine Quadratzahl kann also nur dann vorliegen, wenn zwei aufeinander folgende Glieder der Fibonaccifolge gerade sind und das ist aufgrund der Teilerfremdheit nicht möglich.


Aber auch deine Idee über die Rekursion ist brauchbar. Aus deiner Gleichung folgt, dass genau dann eine Quadratzahl ist, wenn eine Quadratzahl ist.
Induktiv (Für n=1,2,3 trifft es nicht zu) ergibt sich daraus die Aussage.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
Indexverschiebung
Zitat:
Original von Helferlein
Du hast schon richtig erkannt, dass die Fibonaccifolge eine Rolle spielt. Es ist für
Dabei ist das n-te Folgeglied der Fibonaccifolge.

Die meist übliche Indizierung der Fibonacci-Folge geht mit los. In dem Sinne muss man hier dann schreiben.
hihi00 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, vielen Dank für deine tolle Hilfe! Jetzt ist mir die Aufgabe doch deutlich klarer geworden smile
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